我們知道某些代數恒等式可用一些卡片拼成的圖形面積來解釋．
（1）如圖1可以用來解釋完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）2=a2+2ab+b2，反過來利用一些卡片拼成的圖形面積也可以對某些二次三項式進行因式分解．
（2）如圖2，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為m的大正方形，兩塊是邊長都為n的小正方形，五塊是長為m,寬為n的全等小長方形，且m＞n.
①觀察圖形，可以發現代數式2m2+5mn+2n2可以分解因式為 （m+2n）（2m+n）（m+2n）（2m+n）；
②若每塊小長方形的面積為12cm2，四個正方形的面積和為50cm2，試求m-n的值．
（3）將圖3中邊長為a和b的正方形拼在一起，B、C、G三點在同一條直線上，連接BD和BF，若這兩個正方形的邊長滿足a+b=5，ab=6，請求出陰影部分的面積．
【考點】完全平方公式的幾何背景；因式分解的意義．
【答案】（a+b）2=a2+2ab+b2；（m+2n）（2m+n）
【解答】
【點評】
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發布：2025/6/2 19:30:2組卷：228難度：0.6
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1．[知識生成]
通常，用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個恒等式．
例如：如圖①是一個長為2a,寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形．請解答下列問題：
（1）圖②中陰影部分的正方形的邊長是；
（2）請用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積：
方法1：；方法2：；
（3）觀察圖②，請你寫出（a+b）2、（a-b）2、ab之間的等量關系是；
（4）根據（3）中的等量關系解決如下問題：若x+y=6，，則（x-y）2=；xy=112
[知識遷移]
類似地，用兩種不同的方法計算同一幾何體的體積，也可以得到一個恒等式．
（5）根據圖③，寫出一個代數恒等式：；
（6）已知a+b=3，ab=1，利用上面的規律求的值．a3+b32
發布：2025/6/4 22:0:2組卷：2110引用：14難度：0.6 -
2．通常，用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個恒等式．數學活動課上，老師展示了如圖1的長方形紙片，它是一個長為2a,寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形，請解答下列問題：
（1）請用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積：
方法1：；
方法2：．
（2）觀察圖2，請你寫出（a+b）2、（a-b）2、ab之間的等量關系是 ．
（3）結合以上信息，靈活運用公式，解決如下問題：
①已知a+b=5，ab=5，求（a-b）2+（a+2）（b+2）的值；
②已知（2024-a）2+（a-2023）2=7，求（2024-a）（a-2023）的值．
發布：2025/6/4 20:30:1組卷：1266引用：4難度：0.5 -
3．圖1是一個長為4b,寬為a（a＞b）的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按如圖2所示的形狀拼成一個大正方形．
（1）圖2中的陰影部分正方形的邊長是 （用含a,b的代數式表示）；
（2）觀察圖1，圖2，請寫出（a+b）2，（a-b）2，ab之間的等量關系是：；
（3）已知（m+n）2=25，（m-n）2=16，求m2+n2的值；
（4）如圖3，C是線段AB上的一點，以AC，BC為邊向上分別作正方形ACDE和正方形BCFG，連結AF．若AB=7，DF=3，求△AFC的面積．
發布：2025/6/4 21:0:2組卷：719引用：6難度：0.5