閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務：
萊昂哈德?歐拉（LeonhardEuler）是瑞士數學家，在數學上經常見到以他的名字命名的重要常數，公式和定理，下面就是歐拉發現的一個定理：在△ABC中，R和r分別為外接圓和內切圓的半徑，O和I分別為其中外心和內心，則OI²=R²-2Rr.

如圖1，⊙O和⊙I分別是△ABC的外接圓和內切圓，⊙I與AB相切分于點F，設⊙O的半徑為R，⊙I的半徑為r,外心O（三角形三邊垂直平分線的交點）與內心I（三角形三條角平分線的交點）之間的距離OI=d,則有d²=R²-2Rr.
下面是該定理的證明過程（部分）：
延長AI交⊙O于點D，過點I作⊙O的直徑MN，連接DM，AN．
∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI（同弧所對的圓周角相等）．
∴△MDI∽△ANI．
∴

IM

IA

=

ID

IN

，
∴IA?ID=IM?IN，①
如圖2，在圖1（隱去MD，AN）的基礎上作⊙O的直徑DE，
如圖2，動手連接BE，BD，BI，IF．
∵DE是⊙O的直徑，所以∠DBE=90°．
∵⊙I與AB相切于點F，所以∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA．
∵∠BAD=∠E（同弧所對的圓周角相等），
∴△AIF∽△EDB，
∴

IA

DE

=

IF

BD

．
∴IA?BD=DE?IF②
（1）觀察發現：IM=

R+d

R+d

，IN=

R-d

R-d

（用含R，d的代數式表示）；
（2）請觀察式子①和式子②，并利用任務（1）的結論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分．