2019-2020學年福建省廈門一中高一（上）入學數學試卷

一、選擇題：（共10小題，每題4分，計40分）

• 1．-3的絕對值是（　　）

  A．3

  B． 1 3

  C． - 1 3

  D．-3
  組卷：3331引用：652難度：0.9

  解析

• 2．下列計算正確的是（　　）

  A．3a+2b=5ab	B．（a3）2=a6
  C．a6÷a3=a2	D．（a+b）2=a2+b2
  組卷：696引用：11難度：0.8

  解析

• 3．點點同學對數據26，36，46，5□，52進行統計分析，發現其中一個兩位數的個位數字被黑水涂污看不到了，則計算結果與被涂污數字無關的是（　　）

  A．平均數

  B．中位數

  C．方差

  D．標準差
  組卷：1977引用：41難度：0.8

  解析

• 4．如圖，一把梯子靠在垂直水平地面的墻上，梯子AB的長是3米．若梯子與地面的夾角為α，則梯子頂端到地面的距離BC為（　　）

  A．3sinα米

  B．3cosα米

  C． 3 sinα 米

  D． 3 cosα 米
  組卷：2827引用：43難度：0.8

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• 5．根據尺規作圖的痕跡，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  組卷：2372引用：26難度：0.8

  解析

• 6．已知一次函數y₁=ax+b和y₂=bx+a（a≠b），函數y₁和y₂的圖象可能是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  組卷：4865引用：40難度：0.5

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三、解答題：（共5小題，計44分）（須寫出詳細的解答過程）

• 18．閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務：
  萊昂哈德?歐拉（LeonhardEuler）是瑞士數學家，在數學上經常見到以他的名字命名的重要常數，公式和定理，下面就是歐拉發現的一個定理：在△ABC中，R和r分別為外接圓和內切圓的半徑，O和I分別為其中外心和內心，則OI²=R²-2Rr.
  
  如圖1，⊙O和⊙I分別是△ABC的外接圓和內切圓，⊙I與AB相切分于點F，設⊙O的半徑為R，⊙I的半徑為r,外心O（三角形三邊垂直平分線的交點）與內心I（三角形三條角平分線的交點）之間的距離OI=d,則有d²=R²-2Rr.
  下面是該定理的證明過程（部分）：
  延長AI交⊙O于點D，過點I作⊙O的直徑MN，連接DM，AN．
  ∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI（同弧所對的圓周角相等）．
  ∴△MDI∽△ANI．
  ∴

  IM

  IA

  =

  ID

  IN

  ，
  ∴IA?ID=IM?IN，①
  如圖2，在圖1（隱去MD，AN）的基礎上作⊙O的直徑DE，
  如圖2，動手連接BE，BD，BI，IF．
  ∵DE是⊙O的直徑，所以∠DBE=90°．
  ∵⊙I與AB相切于點F，所以∠AFI=90°，
  ∴∠DBE=∠IFA．
  ∵∠BAD=∠E（同弧所對的圓周角相等），
  ∴△AIF∽△EDB，
  ∴

  IA

  DE

  =

  IF

  BD

  ．
  ∴IA?BD=DE?IF②
  （1）觀察發現：IM=

  ，IN=

  （用含R，d的代數式表示）；
  （2）請觀察式子①和式子②，并利用任務（1）的結論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分．
  組卷：86引用：1難度：0.4

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• 19．如圖1，拋物線y=

  1

  4

  （x-m）²的頂點A在x軸正半軸上，交y軸于點B，S_△OAB=1．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）如圖2，P是第一象限內拋物線上對稱軸右側一點，過P的直線l與拋物線有且只有一個公共點，l交拋物線對稱軸于C點，連PB交對稱軸于D點，若∠BAO=∠PCD，求直線l的解析式；
  （3）若點M、N是拋物線的兩點，以線段MN為直徑的圓經過點A，求證：MN始終經過一個定點，并求出該定點的坐標．
  
  組卷：78引用：1難度：0.2

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