已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率e=22，左、右焦點分別是F1、F2，且橢圓上一動點M到F2的最遠距離為2+1，過F2的直線l與橢圓C交于A，B兩點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）當△F1AB以∠F1AB為直角時，求直線AB的方程；
（3）直線l的斜率存在且不為0時，試問x軸上是否存在一點P使得∠OPA=∠OPB，若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
e
=
2
2
2
+
1
【考點】根據abc及其關系式求橢圓的標準方程．
【答案】（1）；
（2）y=-x+1或y=x-1；
（3）存在一點P使得∠OPA=∠OPB，證明如下：
由題意，假設點P存在，設點P坐標（m，0），A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵直線l的斜率存在且不為0，∴可設斜率為k，且k≠0，則l的方程為y=k（x-1），
聯立l與橢圓的方程，得
，∴（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，
∴x1x2=，x1+x2=，
∵∠OPA=∠OPB，∴kPA+kPB=0．
∵kPA=，kPB=．
∴∵kPA+kPB=+=0，
∴y1x2+y2x1-m（y1+y2）=0，
∵y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
∴k（x1-1）x2+k（x2-1）x1-m[k（x1-1）+k（x1-1）]=0，
整理可得2kx1x2-（k+mk）?（x1+x2）+2km=0，
∴2k?-（k+mk）?+2km=0，
又k≠0，
∴-（1+m）?+2m=0，
∴2k2-2-2k2（1+m）+m（1+2k2）=0，
∴m-2=0，即m=2，
∴x軸上存在一點P（2，0），使得∠OPA=∠OPB．
x
2
2
+
y
2
=
1
（2）y=-x+1或y=x-1；
（3）存在一點P使得∠OPA=∠OPB，證明如下：
由題意，假設點P存在，設點P坐標（m，0），A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵直線l的斜率存在且不為0，∴可設斜率為k，且k≠0，則l的方程為y=k（x-1），
聯立l與橢圓的方程，得
y = k （ x - 1 ） |
x 2 2 + y 2 = 1 |
∴x1x2=
2
（
k
2
-
1
）
2
k
2
+
1
4
k
2
2
k
2
+
1
∵∠OPA=∠OPB，∴kPA+kPB=0．
∵kPA=
y
1
x
1
-
m
y
2
x
2
-
m
∴∵kPA+kPB=
y
1
x
1
-
m
y
2
x
2
-
m
∴y1x2+y2x1-m（y1+y2）=0，
∵y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
∴k（x1-1）x2+k（x2-1）x1-m[k（x1-1）+k（x1-1）]=0，
整理可得2kx1x2-（k+mk）?（x1+x2）+2km=0，
∴2k?
2
（
k
2
-
1
）
2
k
2
+
1
4
k
2
2
k
2
+
1
又k≠0，
∴
2
（
k
2
-
1
）
2
k
2
+
1
4
k
2
2
k
2
+
1
∴2k2-2-2k2（1+m）+m（1+2k2）=0，
∴m-2=0，即m=2，
∴x軸上存在一點P（2，0），使得∠OPA=∠OPB．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：373引用：5難度：0.3
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