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為了求1+2+2²+2³+…+2¹⁰⁰的值，可令S=1+2+2²+2³+…+2¹⁰⁰，則2S=2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰¹，因此2S-S=2¹⁰¹-1，所以S=2¹⁰¹-1，即1+2+2²+2³+…+2¹⁰⁰=2¹⁰¹-1，仿照以上推理計算1+3+3²+…+3¹⁰⁰的值是
1
2
（3¹⁰¹-1）
1
2
（3¹⁰¹-1）
．

【考點】規律型：數字的變化類．

【答案】

（3¹⁰¹-1）

【解答】

【點評】

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發布：2025/6/11 10:30:1組卷：1040引用：5難度：0.3

相似題

1．問題：你能比較兩個數2021²⁰²²和2022²⁰²¹的大小嗎？
為了解決這個問題，我們先把它抽象成數學問題，寫出它的一般形式，比較nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大小（n為正整數），從分析n=1，n=2，n=3…的情形入手，通過歸納，發現規律，猜想出結論．
（1）比較各組數的大小①1²
2¹；②2³
3²；③3⁴
4³；④4⁵
5⁴；
（2）由（1）猜想出nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大小關系是
；
（3）由（2）可知：2021²⁰²²
2022²⁰²¹．
發布：2025/6/12 20:30:2組卷：94引用：2難度：0.7
解析
2．先觀察下列各式，再完成題后問題：
1
2
×
3
=
1
2
-
1
3
；
1
3
×
4
=
1
3
-
1
4
；
1
4
×
5
=
1
4
-
1
5
．
（1）①寫出：
1
5
×
6
=
；
②請你猜想：
1
2010
×
2012
=
；
（2）求
1
1
×
2
+
1
2
×
3
+
1
3
×
4
+
1
4
×
5
+
…
+
1
（
n
-
1
）
×
n
的值；
（3）運用以上方法思考：求
1
4
+
1
12
+
1
24
+
1
40
+
1
60
+
1
84
+
1
112
+
1
144
+
1
180
的值．
發布：2025/6/12 20:0:2組卷：95引用：2難度：0.5
解析
3．觀察下列等式：
1
1
×
2
=1-
1
2
；
1
2
×
3
=
1
2
-
1
3
；
1
3
×
4
=
1
3
-
1
4
；…；
1
n
（
n
+
1
）
=
1
n
-
1
n
+
1
．
將以上幾個式子相加得到：
1
1
×
2
+
1
2
×
3
+
1
3
×
4
+…+
1
n
（
n
+
1
）
=1-
1
n
（
n
+
1
）
；
用上述方法計算下面式子的結果：
1
1
×
3
+
1
3
×
5
+
1
5
×
7
+…+
1
99
×
101
．
發布：2025/6/12 19:30:2組卷：52引用：2難度：0.6
解析

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2021-2022學年山東省聊城市東昌府區水城雙語學校七年級（下）第二次月考數學試卷

為了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，則2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S-S=2101-1，所以S=2101-1，即1+2+22+23+…+2100=2101-1，仿照以上推理計算1+3+32+…+3100的值是12（3101-1）12（3101-1）．

2．先觀察下列各式，再完成題后問題：12×3=12-13；13×4=13-14；14×5=14-15．（1）①寫出：15×6=；②請你猜想：12010×2012=；（2）求11×2+12×3+13×4+14×5+…+1（n-1）×n的值；（3）運用以上方法思考：求14+112+124+140+160+184+1112+1144+1180的值．

3．觀察下列等式：11×2=1-12；12×3=12-13；13×4=13-14；…；1n（n+1）=1n-1n+1．將以上幾個式子相加得到：11×2+12×3+13×4+…+1n（n+1）=1-1n（n+1）；用上述方法計算下面式子的結果：11×3+13×5+15×7+…+199×101．