如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10．點E是線段AB上一動點，點G在BC的延長線上，且CG=AE，連接EG，以線段EG為對角線作正方形EDGF，邊ED交AC邊于點M，線段EG交AC邊于點N，邊EF交BC邊于點P．
（1）求證：NG=2EN；
（2）設AE=x,△AEN的面積為y,求y關于x的函數解析式，并寫出x的定義域；
（3）連接NP，當△EPN是直角三角形時，求AE的值．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】（1）證明見解析；
（2）y=，定義域為：5-5＜x≤10；
（3）40-20或．
（2）y=
5
12
3
x
+
3
12
x
2
3
（3）40-20
3
125
-
25
3
11
【解答】
【點評】
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發布：2024/9/17 1:0:8組卷：381引用：3難度：0.3
相似題
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1．綜合與實踐
綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展數學活動．
（1）操作判斷
操作一：在正方形紙片ABCD的AD邊上取一點E，沿CE折疊，得到折線CE，把紙片展平；
操作二：對折正方形紙片ABCD，使點C和點E重合，得到折線GF，把紙片展平．根據以上操作，判斷線段CE，GF的大小關系是 ，位置關系是 ．
（2）深入探究
如圖2，設HE與AB交于點I．小華測量發現IE=IB+ED，經過思考，他連接IC，并作△EIC的高CK，嘗試證明△CKE≌△CDE，△CBI≌△CKI．請你幫助完成證明過程．
（3）拓展應用
在（2）的探究中，已知正方形ABCD的邊長為10cm,當I是AB的三等分點時，請直接寫出AE的長．發布：2025/5/21 15:30:1組卷：329引用：4難度：0.1 -
2．問題提出
（1）如圖①，在Rt△ABC中，BC=6，點D為斜邊AC的中點，且BD=5，求tan∠DBC的值；
問題解決
（2）如圖②，現有一塊邊長為1米的正方形鋼板ABCD，其中∠B，∠C，∠D均有不同程度的磨損，不能使用，王師傅計劃過點A裁出一個形如四邊形AEGF的零件，其中點F，G，E分別在邊AB，BC，CD上，且點F為AB的中點．
①王師傅想要使得∠FGE=90°，在手頭沒有直角尺的情況下，進行如下操作：
第一步：取一根筆直的木棒，用鉛筆在木棒上任意點出M，N兩點；
第二步：將木棒斜放在鋼板上，使點M與點F重合，保持點N不動，將木棒進行旋轉，使點M落在BC上，在鋼板上將點M對應的位置標記為點G；
第三步：將FN延長，再將木棒繞點N旋轉，使點M落在FN的延長線上，記點M的對應點為點Q；
第四步：作射線GQ交DC于點E，則∠FGE=90°．
請問，王師傅的操作方法是否能夠得到∠FGE=90°？請證明．
②在①的條件下，王師傅想要得到最大面積的四邊形AEGF，請你計算四邊形AEGF面積的最大值．
發布：2025/5/21 16:0:1組卷：299引用：2難度：0.4 -
3．已知正方形ABCD和等腰直角三角形AEF，∠EAF=90°，連接BD，BE，BF，DE，點G，H，I分別為線段BD，BF，DE的中點，連接GH，GI，HI．
（1）如圖1，當點B，A，F在一條直線上時，請直接寫出線段GH與GI的關系；
（2）如圖2，將△AEF繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜90°），判斷線段GH與GI的關系，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，若AB=4，AE=3，△ADE，△ABF，△GHI的面積分別為S1，S2，S．
①請直接寫出S1與S2大小關系；
②直接寫出的值．S-S1+S24發布：2025/5/21 16:0:1組卷：155引用：2難度：0.1