綜合與實踐
在數學活動課上，老師帶領同學們以“矩形的折疊”為主題展開綜合與實踐活動．
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（1）如圖1，老師的操作如下：
操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；
操作二：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，記作點M，并使折痕經過點B，得到折痕BP．把紙片展平，連接PM，BM．則∠MBC=3030度．
（2）“先鋒”小組將矩形紙片剪成正方形紙片后繼續探究，過程如下：
操作三：如圖2，將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ，則∠MBQ與∠CBQ的數量關系是 ∠MBQ=∠CBQ=15°∠MBQ=∠CBQ=15°．
操作四：如圖3，改變折痕BP的位置（點P不與點A、D重合），使點M位于EF的下方，則“操作三”中∠MBQ與∠CBQ的數量關系還成立嗎？請說明理由．
（3）“啟思”小組繼續思考，經過討論，提出如下問題：如圖3，當正方形紙片ABCD的邊長為10，FQ=3時，求AP的長．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】30；∠MBQ=∠CBQ=15°
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/23 12:26:7組卷：207引用：2難度：0.4
相似題
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1．問題情?境
如圖，在四邊形ABCD中，連接BD，∠ABD=∠BCD=90°，∠ADB=30°，∠BDC=45°，AB=2，點E為AD的中點，連接CE．以點D為中心，順時針旋轉△DEC，得到△DGF，點E，C的對應點分別為點G，F．
問題探究
（1）如圖①，則CE的長為 ；
（2）如圖②，在△DFG旋轉過程中，當B，F，G三點共線時，求△ABF的面積；
（3）如圖③，在△DFG旋轉過程中，連接AF，AG，直接寫出△AFG面積的最大值．
發布：2025/5/22 18:30:2組卷：315引用：1難度：0.1 -
2．在數學興趣社團課上，同學們對平行四邊形進行了深入探究．
探究一：如圖1，在矩形ABCD中，AC2=AB2+BC2，BD2=AC2=CD2+AD2，則AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2，由此得出結論：矩形兩條對角線的平方和等于其四邊的平方和．
探究二：對于一般的平行四邊形，是否仍有上面的結論呢？
證明：如圖2，在?ABCD中，過A作AM⊥BC于M，過D作DN⊥BC，交BC延長線于N．設AB=a,BC=b,BM=x,AM=y,
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABC=∠DCN，
又∵∠AMB=∠DNC=90°，∴△ABM≌△DCN．
∴CN=BM=x,DN=AM=y.
請你接著完成上面的證明過程．
結論應用：若一平行四邊形的周長為20，兩條對角線長分別為8，2，求該平行四邊形的四條邊長．10
發布：2025/5/22 18:30:2組卷：223引用：1難度：0.5 -
3．我們定義：如圖1，在△ABC中，把AB繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC繞點A逆時針旋轉β得到AC'，連接B'C'．當α+β=180°時，我們稱△A'B'C'是△ABC的“旋補三角形”，△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．
特例感知：
（1）在圖2，圖3中，△AB'C'是△ABC的“旋補三角形”，AD是△ABC的“旋補中線”．
①如圖2，當△ABC為等邊三角形時，AD與BC的數量關系為AD=BC；
②如圖3，當∠BAC=90°，BC=8時，則AD長為 ．
猜想論證：
（2）在圖1中，當△ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數量關系，并給予證明．
拓展應用
（3）如圖4，在四邊形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，DA=6．在四邊形內部是否存在點P，使△PDC是△PAB的“旋補三角形”？若存在，給予證明，并求△PAB的“旋補中線”長；若不存在，說明理由．3
發布：2025/5/22 18:30:2組卷：3823引用：11難度：0.1
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