如圖，在長方形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，∠B=90°，AB=6，AD=8，點P在邊BC上，且不與點B、C重合，直線AP與DC的延長線交于點E．
（1）當點P是BC的中點時，求證：△ABP≌△ECP；
（2）將△APB沿直線AP折疊得到△APB′，點B′落在長方形ABCD的內部，延長PB′交直線AD于點F．
①證明FA=FP，并求出在（1）條件下AF的值；
②連接B′C，直接寫出△PCB′周長的最小值．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】（1）證明見解析部分；
（2）①；
②12．
（2）①
13
2
②12．
【解答】
【點評】
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發布：2025/6/1 6:30:1組卷：1205引用：2難度：0.1
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1．（1）[方法回顧]：課本上“三角形中位線定理”的證明．已知：如圖1，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點．求證：DE=
BC，DE∥BC，證明：如圖1，延長DE到點F，使得EF=DE，連接CF；請繼續完成證明過程；12
（2）[問題解決]：如圖2，AB∥CD，E為AD的中點，G、F分別為射線AB、DC上的點，∠GEF=90°，線段AG、DF、FG有怎樣的數量關系？請說明理由；
（3）[思維拓展]：如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠GEF=90°，∠D=120°，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，H是GF的中點，若AG=2，DF=6（注：23=3），EH的長為 ．12
發布：2025/6/4 19:30:1組卷：242引用：2難度：0.1 -
2．如圖1，在四邊形ABCD中，E，F，G，H是各邊中點，連接EF，EH，HG，GF．可得到以下結論：
結論1：四邊形EFGH是平行四邊形；
結論2：四邊形EFGH的面積是四邊形ABCD的一半；
（1）試證明結論1．
（2）探究與應用：（提示：以下問題可以直接使用上述結論）
①如圖2，在四邊形ABCD中，E，G分別為邊AB，DC的中點，連接EG．已知AD=8，BC=6，求出線段EG的取值范圍．
②如圖3，在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點，連接EG，FH交于點O，若HF=10，EG=7，∠EOH=60°，試求出四邊形ABCD的面積．
發布：2025/6/4 19:30:1組卷：95引用：1難度：0.1 -
3．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm,AD=12cm,BC=18cm,點P從點A出發，以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發，以2cm/s的速度向點B運動．規定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．設點P，Q運動的時間為t s.
（1）CD邊的長度為 cm,t的取值范圍為 ．
（2）從運動開始，當t取何值時，PQ∥CD？
（3）從運動開始，當t取何值時，PQ=CD？
（4）在整個運動過程中是否存在t值，使得四邊形PQCD是菱形？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由．發布：2025/6/4 18:30:2組卷：259引用：3難度：0.2