已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率e=32且圓x2+y2=2過橢圓C的上、下頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l的斜率為12，且直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，點P關于原點的對稱點為E，點A（-2，1）是橢圓C上一點，若直線AE與AQ的斜率分別為kAE，kAQ，證明：kAE+kAQ=0．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
3
2
1
2
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）．
（2）證明：由于直線l的斜率為，可設直線l的方程為，
代入橢圓方程x2+4y2=8，可得
x2+2tx+2t2-4=0．
由于直線l交橢圓C與P，Q兩點，
所以Δ=4t2-4（2t2-4）＞0，
整理解得-2＜t＜2．
設點P（x1，y1），Q（x2，y2），由于點P與點E關于原點對稱，
故點E（-x1，-y1）．
于是有x1+x2=-2t，．
若直線AE與AQ的斜率分別為kAE，kAQ，由于點A（-2，1），
則=，
又因為，，
于是有（2-x1）（y2-1）+（2+x2）（y1+1）
=2（y2-y1）-（x1y2+x2y1）+x1-x2+4
=x2-x1-（x1x2+tx1+tx2）+x1-x2-4
=-x1x2-t（x1+x2）-4
=-（2t2-4）-t（-2t）-4=0．
故直線AE與AQ的斜率之和為0，即kAE+kAQ=0．
x
2
8
+
y
2
2
=
1
（2）證明：由于直線l的斜率為
1
2
y
=
1
2
x
+
t
代入橢圓方程x2+4y2=8，可得
x2+2tx+2t2-4=0．
由于直線l交橢圓C與P，Q兩點，
所以Δ=4t2-4（2t2-4）＞0，
整理解得-2＜t＜2．
設點P（x1，y1），Q（x2，y2），由于點P與點E關于原點對稱，
故點E（-x1，-y1）．
于是有x1+x2=-2t，
x
1
x
2
=
2
t
2
-
4
若直線AE與AQ的斜率分別為kAE，kAQ，由于點A（-2，1），
則
k
AE
+
k
AQ
=
y
2
-
1
x
2
+
2
+
-
y
1
-
1
-
x
1
+
2
（
2
-
x
1
）
（
y
2
-
1
）
+
（
2
+
x
2
）
（
y
1
+
1
）
（
2
+
x
2
）
（
2
-
x
1
）
又因為
y
1
=
1
2
x
1
+
t
y
2
=
1
2
x
2
+
t
于是有（2-x1）（y2-1）+（2+x2）（y1+1）
=2（y2-y1）-（x1y2+x2y1）+x1-x2+4
=x2-x1-（x1x2+tx1+tx2）+x1-x2-4
=-x1x2-t（x1+x2）-4
=-（2t2-4）-t（-2t）-4=0．
故直線AE與AQ的斜率之和為0，即kAE+kAQ=0．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：162引用：9難度：0.4
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