已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一個頂點坐標為A（0，-1），離心率為32．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點P，Q，線段PQ的中點為M，點B（1，0），求證：點M不在以AB為直徑的圓上．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
3
2
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）證明：設P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0）．
由
得 （4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0，
所以Δ=（-8k2）2-4×（4k2+1）（4k2-4）=48k2+16．
所以當k為任何實數時，都有Δ＞0．
所以，．
因為線段PQ的中點為M，
所以，，
因為 B（1，0），
所以，．
所以
=
==
=．
又因為 k≠0，，
所以，
所以點M不在以AB為直徑的圓上．
x
2
4
+
y
2
=
1
（Ⅱ）證明：設P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0）．
由
x 2 4 + y 2 = 1 ， |
y = k （ x - 1 ） ， |
所以Δ=（-8k2）2-4×（4k2+1）（4k2-4）=48k2+16．
所以當k為任何實數時，都有Δ＞0．
所以
x
1
+
x
2
=
8
k
2
4
k
2
+
1
x
1
x
2
=
4
k
2
-
4
4
k
2
+
1
因為線段PQ的中點為M，
所以
x
0
=
x
1
+
x
2
2
=
4
k
2
4
k
2
+
1
y
0
=
k
（
x
0
-
1
）
=
-
k
4
k
2
+
1
因為 B（1，0），
所以
AM
=
（
x
0
，
y
0
+
1
）
BM
=
（
x
0
-
1
，
y
0
）
所以
AM
?
BM
=
x
0
（
x
0
-
1
）
+
y
0
（
y
0
+
1
）
=
x
0
2
-
x
0
+
y
0
2
+
y
0
=
（
4
k
2
4
k
2
+
1
）
2
-
4
k
2
4
k
2
+
1
+
（
-
k
4
k
2
+
1
）
2
+
-
k
4
k
2
+
1
=
-
4
k
3
-
3
k
2
-
k
（
4
k
2
+
1
）
2
-
k
（
4
k
2
+
3
k
+
1
）
（
4
k
2
+
1
）
2
=
-
k
[
4
（
k
+
3
8
）
2
+
7
16
]
（
4
k
2
+
1
）
2
又因為 k≠0，
4
（
k
+
3
8
）
2
+
7
16
＞
0
所以
AM
?
BM
≠
0
所以點M不在以AB為直徑的圓上．
【解答】
【點評】
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發布：2024/12/29 12:30:1組卷：370引用：4難度：0.5
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