設橢圓E：x2a2+y21-a2=1的焦點在x軸上
（1）若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；
（2）設F1，F2分別是橢圓E的左、右焦點，P為橢圓E上第一象限內的點，直線F2P交y軸于點Q，并且F1P⊥F1Q，證明：當a變化時，點P在某定直線上．
x
2
a
2
+
y
2
1
-
a
2
=
1
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）；
（2）證明：設P（x0，y0），F1（-c，0），F2（c，0），其中．
由題設可知：x0≠c．則直線F1P的斜率=，直線F2P的斜率=．
故直線F2P的方程為．
令x=0，解得．即點Q．
因此直線F1Q的斜率=．
∵F1Q⊥F1P，∴=．
化為．
聯立
，及x0＞0，y0＞0，
解得，．
即點P在定直線x+y=1上．
8
x
2
5
+
8
y
2
3
=
1
（2）證明：設P（x0，y0），F1（-c，0），F2（c，0），其中
c
=
2
a
2
-
1
由題設可知：x0≠c．則直線F1P的斜率
k
F
1
P
y
0
x
0
+
c
k
F
2
P
y
0
x
0
-
c
故直線F2P的方程為
y
=
y
0
x
0
-
c
（
x
-
c
）
令x=0，解得
y
=
c
y
0
c
-
x
0
（
0
，
c
y
0
c
-
x
0
）
因此直線F1Q的斜率
k
F
1
Q
y
0
c
-
x
0
∵F1Q⊥F1P，∴
k
F
1
Q
?
k
F
1
P
y
0
x
0
+
c
?
y
0
c
-
x
0
=
-
1
化為
y
2
0
=
x
2
0
-
（
2
a
2
-
1
）
聯立
y 2 0 = x 2 0 - （ 2 a 2 - 1 ） |
x 2 0 a 2 + y 2 0 1 - a 2 = 1 |
解得
x
0
=
a
2
y
0
=
1
-
a
2
即點P在定直線x+y=1上．
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：1434引用：12難度：0.1
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