背景介紹：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對(duì)它的證明精彩粉呈，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．
小試牛刀：把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為a,b,c.顯然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE，請(qǐng)用a,b,c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：
S梯形ABCD=12a（a+b）12a（a+b），S△EBC=12b（a-b）12b（a-b），S四邊形AECD=12c212c2，則它們滿足的關(guān)系式為 12a（a+b）=12b（a-b）+12c212a（a+b）=12b（a-b）+12c2，經(jīng)化簡，可得到勾股定理．（提示：對(duì)角線互相垂直的四邊形面積等于對(duì)角線乘積的一半）
知識(shí)運(yùn)用：
（1）如圖2，鐵路上A，B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，C，D為兩個(gè)村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=25千米，BC=16千米，則兩個(gè)村莊的距離為 4141千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一個(gè)供應(yīng)站P，使得PC=PD，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖3中作出P點(diǎn)的位置并求出AP的距離．
（3）知識(shí)遷移：借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式x2+9+（16-x）2+81的最小值 2020（0＜x＜16）．
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x
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（
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x
）
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【考點(diǎn)】三角形綜合題．
【答案】a（a+b）；b（a-b）；c2；a（a+b）=b（a-b）+c2；41；20
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【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/29 8:0:10組卷：728引用：4難度：0.3
相似題
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1．感知：如圖①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．
探究：如圖②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求證：DB=DC．
應(yīng)用：如圖③，四邊形ABCD中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=，則AB-AC=2
發(fā)布：2025/6/2 4:30:1組卷：421引用：3難度：0.3 -
2．（1）按照要求畫出圖形：畫等邊三角形△ABC，點(diǎn)D在BC的延長線上，連接AD，以AD為邊作等邊三角形△ADE，連接CE；
（2）請(qǐng)寫出AC、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系并證明；
（3）若AB=6cm,點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，在BC的延長線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則t為何值時(shí)，CE⊥AD？發(fā)布：2025/6/2 6:30:2組卷：143引用：2難度：0.3 -
3．已知AD是△ABC的邊BC上的高，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，∠C=∠B+
∠BAD．12
（1）如圖1，求證：AE=AC；
（2）如圖2，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AG∥BC交CF的延長線于點(diǎn)G．
①求證：AG=BE+2DE；
②如圖3，連接EG交AB于H，若AD=AH，求∠B的度數(shù)．發(fā)布：2025/6/2 3:30:1組卷：311引用：2難度：0.5