已知雙曲線C中心為坐標原點，左焦點為（-25，0），離心率為5．
（1）求C的方程；
（2）記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點（-4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于P，證明P在定直線上．
5
5
【考點】由雙曲線的焦點焦距求解雙曲線方程或參數．
【答案】（1）；
（2）證明：過點（-4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，
則可設直線MN的方程為x=my-4，M（x1，y1），N（x2，y2），
記C的左，右頂點分別為A1，A2，
則A1（-2，0），A2（2，0），
聯立
，化簡整理可得，（4m2-1）y2-32my+48=0，
故Δ=（-32m）2-4×48×（4m2-1）=256m2+192＞0且4m2-1≠0，
，，
直線MA1的方程為，直線NA2方程y=，
故==
=
=
=，
故，解得x=-1，
所以xP=-1，
故點P在定直線x=-1上運動．
x
2
4
-
y
2
16
=
1
（2）證明：過點（-4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，
則可設直線MN的方程為x=my-4，M（x1，y1），N（x2，y2），
記C的左，右頂點分別為A1，A2，
則A1（-2，0），A2（2，0），
聯立
x = my - 4 |
4 x 2 - y 2 = 16 |
故Δ=（-32m）2-4×48×（4m2-1）=256m2+192＞0且4m2-1≠0，
y
1
+
y
2
=
32
m
4
m
2
-
1
y
1
y
2
=
48
4
m
2
-
1
直線MA1的方程為
y
=
y
1
x
1
+
2
（
x
+
2
）
y
2
x
2
-
2
（
x
-
2
）
故
x
+
2
x
-
2
y
2
（
x
1
+
2
）
y
1
（
x
2
-
2
）
y
2
（
m
y
1
-
2
）
y
1
（
m
y
2
-
6
）
=
m
y
1
y
2
-
2
（
y
1
+
y
2
）
+
2
y
1
m
y
1
y
2
-
6
y
1
=
m
?
48
4
m
2
-
1
-
2
?
32
m
4
m
2
-
1
+
2
y
1
m
?
48
4
m
2
-
1
-
6
y
1
=
-
16
m
4
m
2
-
1
+
2
y
1
48
m
4
m
2
-
1
-
6
y
1
=
-
1
3
故
x
+
2
x
-
2
=
-
1
3
所以xP=-1，
故點P在定直線x=-1上運動．
【解答】
【點評】
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發布：2024/8/6 8:0:9組卷：6411引用：19難度：0.2
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