已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為32，A（a,0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面積為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N．求證：|AN|?|BM|為定值．
x
2
a
2
y
2
b
2
3
2
【答案】（Ⅰ）+y2=1；
（Ⅱ）證法一：設橢圓上點P（x0，y0），
可得+4=4，
若P（0，-1），可得PA與y軸交于點M（0，-1），直線PB與x軸交于點N（0，0），
可得|AN|?|BM|=4；
直線PA：y=（x-2），令x=0，可得y=-，
則|BM|=|1+|；
直線PB：y=x+1，令y=0，可得x=-，
則|AN|=|2+|．
可得|AN|?|BM|=|2+|?|1+|
=||=||
=||=4，
即有|AN|?|BM|為定值4．
證法二：設P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），
直線PA：y=（x-2），令x=0，可得y=-，
則|BM|=||；
直線PB：y=x+1，令y=0，可得x=-，
則|AN|=||．
即有|AN|?|BM|=||?||
=2||
=2||=4．
則|AN|?|BM|為定值4．
x
2
4
（Ⅱ）證法一：設橢圓上點P（x0，y0），
可得
x
2
0
y
2
0
若P（0，-1），可得PA與y軸交于點M（0，-1），直線PB與x軸交于點N（0，0），
可得|AN|?|BM|=4；
直線PA：y=
y
0
x
0
-
2
2
y
0
x
0
-
2
則|BM|=|1+
2
y
0
x
0
-
2
直線PB：y=
y
0
-
1
x
0
x
0
y
0
-
1
則|AN|=|2+
x
0
y
0
-
1
可得|AN|?|BM|=|2+
x
0
y
0
-
1
2
y
0
x
0
-
2
=|
（
x
0
+
2
y
0
-
2
）
2
（
x
0
-
2
）
（
y
0
-
1
）
x
0
2
+
4
y
0
2
+
4
+
4
x
0
y
0
-
4
x
0
-
8
y
0
2
+
x
0
y
0
-
x
0
-
2
y
0
=|
8
+
4
x
0
y
0
-
4
x
0
-
8
y
0
2
+
x
0
y
0
-
x
0
-
2
y
0
即有|AN|?|BM|為定值4．
證法二：設P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），
直線PA：y=
sinθ
2
cosθ
-
2
sinθ
cosθ
-
1
則|BM|=|
sinθ
+
cosθ
-
1
1
-
cosθ
直線PB：y=
sinθ
-
1
2
cosθ
2
cosθ
sinθ
-
1
則|AN|=|
2
sinθ
+
2
cosθ
-
2
1
-
sinθ
即有|AN|?|BM|=|
2
sinθ
+
2
cosθ
-
2
1
-
sinθ
sinθ
+
cosθ
-
1
1
-
cosθ
=2|
si
n
2
θ
+
co
s
2
θ
+
1
+
2
sinθcosθ
-
2
sinθ
-
2
cosθ
1
+
sinθcosθ
-
sinθ
-
cosθ
=2|
2
+
2
sinθcosθ
-
2
sinθ
-
2
cosθ
1
+
sinθcosθ
-
sinθ
-
cosθ
則|AN|?|BM|為定值4．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：4583引用：23難度：0.5
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