已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距為2，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以原點O為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線3x-4y+5=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設不過原點的直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點，若直線AF2與BF2的斜率分別為k1，k2，且k1+k2=0，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標；
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）；
（2）證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），
將直線y=kx+m（m≠0）代入橢圓x2+2y2=2，
可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
即有Δ=16k2m2-8（1+2k2）（m2-1）＞0，，
由，
即有2kx1x2-2m+（m-k）（x1+x2）=0，
代入韋達定理，可得，
化簡可得m=-2k，
則直線的方程為y=kx-2k，y=k（x-2），
故直線l恒過定點（2，0）．
x
2
2
+
y
2
=
1
（2）證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），
將直線y=kx+m（m≠0）代入橢圓x2+2y2=2，
可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
即有Δ=16k2m2-8（1+2k2）（m2-1）＞0，
x
1
+
x
2
=
-
4
km
1
+
2
k
2
，
x
1
x
2
=
2
m
2
-
2
1
+
2
k
2
由
k
1
+
k
2
=
y
1
x
1
-
1
+
y
2
x
2
-
1
=
k
x
1
+
m
x
1
-
1
+
k
x
2
+
m
x
2
-
1
=
0
即有2kx1x2-2m+（m-k）（x1+x2）=0，
代入韋達定理，可得
2
k
?
2
m
2
-
2
1
+
2
k
2
-
2
m
+
（
m
-
k
）
（
-
4
km
1
+
2
k
2
）
=
0
化簡可得m=-2k，
則直線的方程為y=kx-2k，y=k（x-2），
故直線l恒過定點（2，0）．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/9/12 9:0:8組卷：108引用：5難度：0.5
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的弦被點（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ）x236+y29=1發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：460引用：3難度：0.6