觀察下列各式：
12×3=12-13
13×4=13-14
14×5=14-15
……
請你根據上面三個等式提供的信息：
（1）1n（n+1）=1n-1n+11n-1n+1．
（2）計算：12+12×3+13×4+14×5+15×6+?+12019×2020；
（3）觀察下列各式：11×3=12（1-13），13×5=12（13-15），15×7=12（15-17），…，根據觀察計算：11×3+13×5+15×7+?+1（2n-1）（2n+1）（n為正整數）
1
2
×
3
=
1
2
-
1
3
1
3
×
4
=
1
3
-
1
4
1
4
×
5
=
1
4
-
1
5
1
n
（
n
+
1
）
1
n
-
1
n
+
1
1
n
-
1
n
+
1
1
2
+
1
2
×
3
+
1
3
×
4
+
1
4
×
5
+
1
5
×
6
+
?
+
1
2019
×
2020
1
1
×
3
=
1
2
（
1
-
1
3
）
1
3
×
5
=
1
2
（
1
3
-
1
5
）
1
5
×
7
=
1
2
（
1
5
-
1
7
）
1
1
×
3
+
1
3
×
5
+
1
5
×
7
+
?
+
1
（
2
n
-
1
）
（
2
n
+
1
）
【考點】規律型：數字的變化類；有理數的混合運算．
【答案】
1
n
-
1
n
+
1
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權屬菁優網所有，未經書面同意，不得復制發布。
發布：2024/6/27 10:35:59組卷：43引用：1難度：0.6
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-
1．觀察下列等式：
第1個等式：；1+11×3=221×3
第2個等式：；1+12×4=322×4
第3個等式：；1+13×5=423×5
第4個等式：……1+14×6=524×6
按照以上規律，解決下列問題：
（1）寫出第5個等式：；
（2）寫出第n個等式：（用含n的等式表示），并證明；
（3）計算：．（1+11×3）×（1+12×4）×（1+13×5）×（1+14×6）×…×（1+12020×2022）×（1+12021×2023）發布：2025/5/24 13:0:1組卷：545引用：5難度：0.5 -
2．猜想與證明：
觀察下列各個等式的規律：
第一個等式：；11×2=1-12
第二個等式：；12×3=12-13
第三個等式：；13×4=13-14
第四個等式：；14×5=14-15
……
請用上述等式反映出的規律猜想并證明：
（1）直接寫出第五個等式；
（2）問題解決：猜想第n個等式（n≥1，用n的代數式表示），并證明你猜想的等式是正確的；
（3）一個容器裝有11水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出L水，第2次倒出的水量是12L水的12，第3次倒出的水量是13L水的13，第4次倒出的水量是14L水的14，……第n次倒出的水量是15L水的1n，…按照這種倒水的方法，求倒n次水倒出的總水量．1n+1發布：2025/5/24 20:30:2組卷：87引用：1難度：0.6 -
3．觀察下列關于自然數的等式：
3×1×2=1×2×3-0×1×2，①
3×2×3=2×3×4-1×2×3，②
3×3×4=3×4×5-2×3×4，③
…
根據上述規律解決下列問題：
（1）完成第四個等式：3×4×5=；
（2）寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并驗證其正確性；
（3）根據你發現的規律，可知1×2+2×3+3×4+…+99×100=．（直接寫出結果即可）發布：2025/5/24 18:0:1組卷：283引用：5難度：0.5