已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），四點(diǎn)P1（1，1）、P2（0，1）、P3（-1，32）、P4（1，32）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上．
（1）求C的方程；
（2）橢圓C上是否存在不同的兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線x+y=1對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出直線MN的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)P2且與C相交于A、B兩點(diǎn)，若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，求證：l過定點(diǎn)．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
P
3
（
-
1
，
3
2
）
P
4
（
1
，
3
2
）
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）橢圓C方程為+y2=1；
（2）存在，；
（3）證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)l：x=m，A（m，yA），B（m，-yA），
∵直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，+=+=+=1，
解得m=2，此時(shí)l過橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足；
若直線l的斜率存在，設(shè)l：y=kx+b，聯(lián)立橢圓x2+4y2=4，
可得（1+4k2）x2+8kbx+4b2-4=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=-，x1x2=，
，
直線l：y=kx+2k-1，即y=k（x+2）-1，
則直線l經(jīng)過定點(diǎn)（-2，-1）．
x
2
4
（2）存在，
l
MN
：
y
=
x
-
5
3
（3）證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)l：x=m，A（m，yA），B（m，-yA），
∵直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，
k
P
2
A
k
P
2
B
y
A
-
1
x
A
y
B
-
1
x
B
y
A
-
1
m
-
y
A
-
1
m
解得m=2，此時(shí)l過橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足；
若直線l的斜率存在，設(shè)l：y=kx+b，聯(lián)立橢圓x2+4y2=4，
可得（1+4k2）x2+8kbx+4b2-4=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=-
8
kb
1
+
4
k
2
4
b
2
-
4
1
+
4
k
2
k
P
2
A
+
k
P
2
B
=
y
1
-
1
x
1
+
y
2
-
1
x
2
=
2
k
+
（
b
-
1
）
（
x
1
+
x
2
）
x
1
x
2
=
2
k
-
2
kb
b
+
1
=
1
?
b
=
2
k
-
1
直線l：y=kx+2k-1，即y=k（x+2）-1，
則直線l經(jīng)過定點(diǎn)（-2，-1）．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：290引用：2難度：0.4
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-
1．已知橢圓C：
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，-1），離心率為x2a2+y2b2．32
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
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2．設(shè)橢圓
+x2a2=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：4556引用：26難度：0.3 -
3．如果橢圓
的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ）x236+y29=1發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：457引用：3難度：0.6