已知動直線l與橢圓C：x2+y22=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩不同點，且△OPQ的面積S△OPQ=22，其中O為坐標原點．
（1）若動直線l垂直于x軸．求直線l的方程；
（2）證明：x21+x22和y21+y22均為定值；
（3）橢圓C上是否存在點D，E，G，使得三角形面積S△ODG=S△ODE=S△OEG=22？若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請說明理由．
y
2
2
2
2
x
2
1
x
2
2
y
2
1
y
2
2
2
2
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）x=；
（2）證明：①當直線l的斜率不存在時，點P，Q兩點關于x軸對稱，所以x2=x1，y2=-y1，
因為點P（x1，y1）在橢圓上，因此 ①，
又因為S△OPQ=，所以 ②，
由①、②得：，|y1|=1，
此時+=1，+=2；
②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為：y=kx+m，依題意m≠0，
聯立方程
，消去y得：（2+k2）x2+2kmx+m2-2=0，
∴Δ=4k2m2-4（2+k2）（m2-2）＞0，即2+k2＞m2 （*），
且x1+x2=，，
∴|PQ|==，
又∵原點O到直線l的距離為d=，
∴S△OPQ==×==，
整理得：2+k2=2m2，符合（*）式，
此時，=====1，
=2（1-）+2=4-2（）=2，
綜上所述，+=1，+=2；
（3）不存在，理由如下：
橢圓C上不存在點D，E，G，使得三角形面積S△ODG=S△ODE=S△OEG=，
證明：假設存在D（u，v），E（u1，v1），G（u2，v2），滿足S△ODG=S△ODE=S△OEG=，
由（1）得：，，，，，，
解得：，，
∴u，u1，u2 只能從中選取，v，v1，v2只能從±1中選取，
∴點D，E，G只能在這四個點中選取三個不同的點，而這三個點的兩兩連線中必有一條過原點，與S△ODG=S△ODE=S△OEG=矛盾，
∴橢圓C上不存在點D，E，G，使得三角形面積S△ODG=S△ODE=S△OEG=．
±
2
2
（2）證明：①當直線l的斜率不存在時，點P，Q兩點關于x軸對稱，所以x2=x1，y2=-y1，
因為點P（x1，y1）在橢圓上，因此
x
1
2
+
y
1
2
2
=
1
又因為S△OPQ=
2
2
|
x
1
|
?
|
y
1
|
=
2
2
由①、②得：
|
x
1
|
=
2
2
此時
x
2
1
x
2
2
y
2
1
y
2
2
②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為：y=kx+m，依題意m≠0，
聯立方程
y = kx + m |
x 2 + y 2 2 = 1 |
∴Δ=4k2m2-4（2+k2）（m2-2）＞0，即2+k2＞m2 （*），
且x1+x2=
-
2
km
2
+
k
2
x
1
x
2
=
m
2
-
2
2
+
k
2
∴|PQ|=
1
+
k
2
?
（
x
1
+
x
2
）
2
-
4
x
1
x
2
1
+
k
2
?
2
2
?
2
+
k
2
-
m
2
2
+
k
2
又∵原點O到直線l的距離為d=
|
m
|
1
+
k
2
∴S△OPQ=
1
2
×
|
PQ
|
×
d
1
2
×
1
+
k
2
?
2
2
?
2
+
k
2
-
m
2
2
+
k
2
|
m
|
1
+
k
2
2
?
|
m
|
?
2
+
k
2
-
m
2
2
+
k
2
2
2
整理得：2+k2=2m2，符合（*）式，
此時，
x
1
2
+
x
2
2
（
x
1
+
x
2
）
2
-
2
x
1
x
2
（
-
2
km
2
+
k
2
）
2
-
2
×
m
2
-
2
2
+
k
2
k
2
m
2
-
m
2
-
2
m
2
k
2
-
m
2
+
2
m
2
y
1
2
+
y
2
2
x
2
1
（
1
-
x
2
2
）
x
1
2
+
x
2
2
綜上所述，
x
2
1
x
2
2
y
2
1
y
2
2
（3）不存在，理由如下：
橢圓C上不存在點D，E，G，使得三角形面積S△ODG=S△ODE=S△OEG=
2
2
證明：假設存在D（u，v），E（u1，v1），G（u2，v2），滿足S△ODG=S△ODE=S△OEG=
2
2
由（1）得：
u
2
+
u
1
2
=
1
u
2
+
u
2
2
=
1
u
1
2
+
u
2
2
=
1
v
2
+
v
1
2
=
2
v
2
+
v
2
2
=
2
v
1
2
+
v
2
2
=
2
解得：
u
2
=
u
1
2
=
u
2
2
=
1
2
v
2
=
v
1
2
=
v
2
2
=
1
∴u，u1，u2 只能從
±
2
2
∴點D，E，G只能在
（
±
2
2
，
±
1
）
2
2
∴橢圓C上不存在點D，E，G，使得三角形面積S△ODG=S△ODE=S△OEG=
2
2
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：246引用：2難度：0.5
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