已知F1，F2分別為橢圓C：x24+y23=1的左、右焦點，MN為該橢圓的一條垂直于x軸的動弦，直線m：x=4與x軸交于點A，直線MF2與直線AN的交點為B．
（1）證明：點B恒在橢圓C上．
（2）設直線n與橢圓C只有一個公共點P，直線n與直線m相交于點Q，在平面內是否存在定點T，使得∠PTQ=π2恒成立？若存在，求出該點坐標；若不存在，說明理由．
C
：
x
2
4
+
y
2
3
=
1
∠
PTQ
=
π
2
【答案】（1）證明：由題意知F2（1，0），A（4，0），設M（s，t），N（s，-t），則=1，t2=3（1-）．
直線MF2 的方程為y=（x-1），直線AN 的方程為y=（x-4），
聯立可得xB=，yB=，即B 的坐標為（，）．
因為+====1，
所以B 點恒在橢圓C上．
（2）存在，T（1，0）．
s
2
4
+
t
2
3
s
2
4
直線MF2 的方程為y=
t
s
-
1
-
t
s
-
4
聯立可得xB=
5
s
-
8
2
s
-
5
3
t
2
s
-
5
5
s
-
8
2
s
-
5
3
t
2
s
-
5
因為
x
B
2
4
y
B
2
3
（
5
s
-
8
）
2
+
12
t
2
4
（
2
s
-
5
）
2
（
5
s
-
8
）
2
+
36
-
9
s
2
4
（
2
s
-
5
）
2
16
s
2
-
80
s
+
100
16
s
2
-
80
s
+
100
所以B 點恒在橢圓C上．
（2）存在，T（1，0）．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：127引用：7難度：0.4
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