已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的兩個焦點F1（-c,0），F2（c,0）與短軸的一個端點構成一個等邊三角形，且直線3x+4y+6=0與圓x2+（y-c）2=a2相切．
（1）求橢圓E的方程；
（2）已知過橢圓C的左頂點A的兩條直線l1，l2分別交橢圓C于M，N兩點，且l1⊥l2，求證：直線MN過定點，并求出定點坐標；
（3）在（2）的條件下求△AMN面積的最大值．
E
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
【答案】（1）；
（2）證明：由題意知A（-2，0），設l1：x=my-2，l1：x=-y-2，
由
消x得：（3m2+4）y2-12my=0，
解得：或y=0（舍去），
∴，∴，同理可得，
i：當m≠±1時，直線MN斜率存在，，，∴直線lMN過定點；
ii：當m=±1時，直線MN斜率不存在，直線方程為：，也過定點．
綜上所述：直線lMN過定點．
（3）．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）證明：由題意知A（-2，0），設l1：x=my-2，l1：x=-
1
m
由
x = my - 2 |
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
解得：
y
=
12
m
3
m
2
+
4
∴
x
=
m
?
12
m
3
m
2
+
4
-
2
=
6
m
2
-
8
3
m
2
+
4
M
（
6
m
2
-
8
3
m
2
+
4
，
12
m
3
m
2
+
4
）
N
（
6
-
8
m
2
4
m
2
+
3
，-
12
m
4
m
2
+
3
）
i：當m≠±1時，直線MN斜率存在，
k
MN
=
12
m
3
m
2
+
4
+
12
m
4
m
2
+
3
6
m
2
-
8
3
m
2
+
4
-
6
-
8
m
2
4
m
2
+
3
=
84
m
2
+
84
m
48
m
4
-
48
=
7
m
4
m
2
-
4
l
MN
：
y
=
7
m
4
m
2
-
4
（
x
+
2
7
）
（
-
2
7
，
0
）
ii：當m=±1時，直線MN斜率不存在，直線方程為：
x
=
-
2
7
（
-
2
7
，
0
）
綜上所述：直線lMN過定點
（
-
2
7
，
0
）
（3）
144
49
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：137引用：2難度：0.5
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