已知橢圓W：x24m+y2m=1的左頂點為A（-2，0），動直線l與橢圓W交于不同的兩點P，Q（不與點A重合），點A在以PQ為直徑的圓上，點P關于原點O的對稱點為M；
（Ⅰ）求橢圓W的方程及離心率；
（Ⅱ）求證：直線PQ過定點；
（Ⅲ）（?。┣蟆鱌QM面積的最大值；
（ⅱ）若△MPQ為直角三角形，求直線l的方程．
x
2
4
m
+
y
2
m
【答案】（Ⅰ），；
（Ⅱ）證明：設P（x1，y1），Q（x2，y2），
當PQ⊥x軸時，Q（x1，-y1），
因為點A在以PQ為直徑的圓上，
所以PA⊥QA，所以，
所以，
因為，
所以，
解方程得或x1=-2，
因為l不過A（-2，0），所以x1=-2舍去，
所以，所以直線PQ的方程為．
當PQ與x軸不垂直時，
設PQ的方程為y=kx+n（k≠0），
代入橢圓方程化簡得（4k2+1）x2+8knx+4n2-4=0，
因為，
所以（x1+2）（x2+2）+y1y2=0，
所以，
所以，
所以12k2-16kn+5n2=0，
所以（6k-5n）（2k-n）=0，
所以n=2k或，
當n=2k時，
直線l的方程為y=k（x+2）過A（-2，0），不合題意，舍去．
當時，直線l的方程為
綜上，直線PQ過定點．
（Ⅲ）（i）；（ii）或．
x
2
4
+
y
2
=
1
3
2
（Ⅱ）證明：設P（x1，y1），Q（x2，y2），
當PQ⊥x軸時，Q（x1，-y1），
因為點A在以PQ為直徑的圓上，
所以PA⊥QA，所以
PA
?
QA
=
0
所以
（
-
2
-
x
1
）
2
-
y
2
1
=
0
因為
x
1
2
4
+
y
1
2
=
1
所以
5
x
1
2
+
16
x
1
+
12
=
0
解方程得
x
1
=
-
6
5
因為l不過A（-2，0），所以x1=-2舍去，
所以
x
1
=
-
6
5
x
=
-
6
5
當PQ與x軸不垂直時，
設PQ的方程為y=kx+n（k≠0），
代入橢圓方程化簡得（4k2+1）x2+8knx+4n2-4=0，
因為
PA
?
QA
=
0
所以（x1+2）（x2+2）+y1y2=0，
所以
（
k
2
+
1
）
x
1
x
2
+
（
kn
+
2
）
（
x
1
+
x
2
）
+
n
2
+
4
=
0
所以
（
k
2
+
1
）
4
n
2
-
4
4
k
2
+
1
+
（
kn
+
2
）
-
8
kn
4
k
2
+
1
+
n
2
+
4
=
0
所以12k2-16kn+5n2=0，
所以（6k-5n）（2k-n）=0，
所以n=2k或
n
=
6
5
k
當n=2k時，
直線l的方程為y=k（x+2）過A（-2，0），不合題意，舍去．
當
n
=
6
5
k
y
=
k
（
x
+
6
5
）
綜上，直線PQ過定點
（
-
6
5
，
0
）
（Ⅲ）（i）
48
25
y
=
6
4
x
+
3
6
10
，
y
=
-
6
4
x
-
3
6
10
x
=
-
6
5
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：195引用：1難度：0.3
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