已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2作一條漸近線的垂線交C于點(diǎn)P，垂足為Q，|QF2|=1，|PF1|-|PF2|=4，M、N為雙曲線左右頂點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)G（4，0）的動(dòng)直線l交雙曲線C右支于A，B兩點(diǎn)（A在第一象限），若直線AM，BN的斜率分別為kAM，kBN．
（ⅰ）試探究kAM與kBN的比值kAMkBN是否為定值．若是定值，求出這個(gè)定值：若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（ⅱ）求k2AM+13kBN的取值范圍．
x
2
a
2
-
y
2
b
2
k
AM
k
BN
k
2
AM
1
3
k
BN
【考點(diǎn)】雙曲線的定點(diǎn)及定值問(wèn)題．
【答案】（1）；
（2）（i）是定值；（ii）．
x
2
4
-
y
2
=
1
（2）（i）是定值
-
1
3
（
-
1
4
，-
5
36
）
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：160引用：3難度：0.2
相似題
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1．已知雙曲線C：
=1（b＞0）一個(gè)焦點(diǎn)F到漸近線的距離為x22-y2b2．2
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得為定值？如果存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)及該定值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．NA?NB發(fā)布：2024/8/15 2:0:1組卷：125引用：4難度：0.5 -
2．已知雙曲線
過(guò)點(diǎn)x2a2-y2b2=1和點(diǎn)（3，52）．（4，15）
（1）求雙曲線的離心率；
（2）過(guò)M（0，1）的直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F且與PQ平行的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)是否為定值？若是定值，求該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．|MP|?|MQ||AB|發(fā)布：2024/9/24 8:0:9組卷：308引用：10難度：0.3 -
3．已知雙曲線
的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，斜率為-3的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）在雙曲線C上，且|MF1|?|MF2|=24．M（4，-22）
（1）求△MF1F2的面積；
（2）若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)N（3，1），記直線NA，NB'的斜率分別為k1，k2，問(wèn)：k1?k2是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．OB+OB′=0發(fā)布：2024/9/15 3:0:8組卷：365引用：4難度：0.4