已知雙曲線C：x22-y2b2=1（b＞0）一個焦點F到漸近線的距離為2．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點（2，0）的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點，在x軸上是否存在點N，使得NA?NB為定值？如果存在，求出點N的坐標及該定值；如果不存在，請說明理由．
x
2
2
-
y
2
b
2
2
NA
?
NB
【考點】雙曲線的定點及定值問題．
【答案】（1）x2-y2=2；
（2）存在，依題意，直線l的斜率不為0，
則設直線l的方程為x=my+2，-1＜m＜1，
聯立
，消去x可得（m2-1）y2+4my+2=0，
設A（x1，y1），B（x2，y2），N（t，0），
則，，
∴，
=，
若要上式為定值，則必須有4t-6=-2，即t=1，
，
故存在點N（1，0）滿足．
（2）存在，依題意，直線l的斜率不為0，
則設直線l的方程為x=my+2，-1＜m＜1，
聯立
x = my + 2 |
x 2 - y 2 = 2 |
設A（x1，y1），B（x2，y2），N（t，0），
則
y
1
+
y
2
=
-
4
m
m
2
-
1
y
1
y
2
=
2
m
2
-
1
∴
NA
?
NB
=
（
x
1
-
t
）
（
x
2
-
t
）
+
y
1
y
2
=
（
m
y
1
+
2
-
t
）
（
m
y
2
+
2
-
t
）
+
y
1
y
2
（
m
2
+
1
）
y
1
y
2
+
m
（
2
-
t
）
（
y
1
+
y
2
）
+
（
2
-
t
）
2
=
（
m
2
+
1
）
2
m
2
-
1
-
m
（
2
-
t
）
4
m
m
2
-
1
+
（
2
-
t
）
2
=
（
4
t
-
6
）
m
2
+
2
m
2
-
1
+
（
2
-
t
）
2
若要上式為定值，則必須有4t-6=-2，即t=1，
（
4
t
-
6
）
m
2
+
2
m
2
-
1
+
（
2
-
t
）
2
=
-
2
+
1
=
-
1
故存在點N（1，0）滿足
NA
?
NB
=
-
1
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權屬菁優網所有，未經書面同意，不得復制發布。
發布：2024/8/15 2:0:1組卷：125引用：4難度：0.5
相似題
-
1．已知雙曲線
過點x2a2-y2b2=1和點（3，52）．（4，15）
（1）求雙曲線的離心率；
（2）過M（0，1）的直線與雙曲線交于P，Q兩點，過雙曲線的右焦點F且與PQ平行的直線交雙曲線于A，B兩點，試問是否為定值？若是定值，求該定值；若不是定值，請說明理由．|MP|?|MQ||AB|發布：2024/9/24 8:0:9組卷：306引用：10難度：0.3 -
2．已知雙曲線
的左、右焦點分別為F1，F2，斜率為-3的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，點C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）在雙曲線C上，且|MF1|?|MF2|=24．M（4，-22）
（1）求△MF1F2的面積；
（2）若（O為坐標原點），點N（3，1），記直線NA，NB'的斜率分別為k1，k2，問：k1?k2是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．OB+OB′=0發布：2024/9/15 3:0:8組卷：365引用：4難度：0.4 -
3．已知雙曲線
的右焦點為F（4，0），P（-3，1）為雙曲線C上一點．C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）
（1）求C的方程；
（2）設直線l：y=kx+m（k≠0），且不過點P，若l與C交于A，B兩點，點B關于原點的對稱點為D，若，試判斷k是否為定值，若是，求出k值，若不是，請說明理由．PA?PD=0發布：2024/8/5 8:0:8組卷：138引用：4難度：0.3