已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，斜率為-3的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，點M（4，-22）在雙曲線C上，且|MF1|?|MF2|=24．
（1）求△MF1F2的面積；
（2）若OB+OB′=0（O為坐標原點），點N（3，1），記直線NA，NB'的斜率分別為k1，k2，問：k1?k2是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
M
（
4
，-
2
2
）
OB
+
OB
′
=
0
【考點】雙曲線的定點及定值問題．
【答案】（1）△MF1F2的面積為8；
（2）由（1）可得
，解得a2=b2=8，
所以雙曲線C的方程為，
設A（x1，y1），B（x2，y2），則B'（-x2，-y2），則，，
設直線l的方程為y=-3x+m，與雙曲線C的方程聯立，消去y得：8x2-6mx+m2+8=0，
由Δ=（-6m）2-32（m2+8）＞0，得|m|＞8，
由一元二次方程根與系數的關系得，
所以，y1-y2=-3（x1-x2），
則，
故k1?k2為定值-1．
2
（2）由（1）可得
16 a 2 - 8 b 2 = 1 |
a 2 + b 2 = 16 |
所以雙曲線C的方程為
x
2
8
-
y
2
8
=
1
設A（x1，y1），B（x2，y2），則B'（-x2，-y2），則
k
1
=
y
1
-
1
x
1
-
3
k
2
=
-
y
2
-
1
-
x
2
-
3
設直線l的方程為y=-3x+m，與雙曲線C的方程聯立，消去y得：8x2-6mx+m2+8=0，
由Δ=（-6m）2-32（m2+8）＞0，得|m|＞8，
由一元二次方程根與系數的關系得
x
1
+
x
2
=
3
m
4
，
x
1
x
2
=
m
2
+
8
8
所以
y
1
y
2
=
（
-
3
x
1
+
m
）
（
-
3
x
2
+
m
）
=
9
x
1
x
2
-
3
m
（
x
1
+
x
2
）
+
m
2
=
-
m
2
8
+
9
則
k
1
?
k
2
=
y
1
-
1
x
1
-
3
?
-
y
2
-
1
-
x
2
-
3
=
y
1
y
2
+
y
1
-
y
2
-
1
x
1
x
2
+
3
x
1
-
3
x
2
-
9
=
-
m
2
8
+
8
-
3
（
x
1
-
x
2
）
m
2
8
-
8
+
3
（
x
1
-
x
2
）
=
-
1
故k1?k2為定值-1．
【解答】
【點評】
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發布：2024/9/15 3:0:8組卷：365引用：4難度：0.4
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