我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．例如圖1，圖2，圖3中，AF，BE是△ABC的中線，AF⊥BE，垂足為P．像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.
特例探索
（1）①如圖1，當(dāng)∠ABE=45°，c=22時(shí)，a=2525，b=2525；
②如圖2，當(dāng)∠ABE=30°，c=4時(shí)，求a和b的值．
歸納證明
（2）請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式．
（3）利用（2）中的結(jié)論，解答下列問(wèn)題：
在邊長(zhǎng)為3的菱形ABCD中，O為對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為線段AO，DO的中點(diǎn)，連接BE，CF并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，BM，CM分別交AD于點(diǎn)G，H，如圖4所示，求MG2+MH2的值．
2
5
5
5
5
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】2；2
5
5
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：642引用：5難度：0.2
相似題
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1．【概念理解】定義：我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形如圖①．
我們學(xué)習(xí)過(guò)的四邊形中是垂美四邊形的是 ；（寫(xiě)出一種即可）
【性質(zhì)探究】
利用圖①，垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB，CD的平方和與BC，AD的平方和之間的數(shù)量關(guān)系是 ；
【性質(zhì)應(yīng)用】
（1）如圖②，在△ABC中，BC=6，AC=8，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，連接AE，CD，若AE⊥CD，則AB的長(zhǎng)為 ；
（2）如圖③，等腰Rt△BCE和等腰Rt△ADE中，∠BEC=∠AED=90°，AC與BD交于O點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)F，AC與DE交于點(diǎn)G．若BE=6，AE=8，AB=12，求CD的長(zhǎng)；
【拓展應(yīng)用】如圖④，在?ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別是AD、AB、CD的中點(diǎn)，EF⊥CF，AD=6，AB=8，求BG的長(zhǎng)．發(fā)布：2025/5/25 5:0:4組卷：292引用：1難度：0.1 -
2．【基礎(chǔ)鞏固】
（1）如圖1，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于點(diǎn)G，求證：DG=EG．
【嘗試應(yīng)用】
（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)CD，CG．若CG⊥DE，CD=10，AE=6，求的值．DEBC
【拓展提高】
（3）如圖3，在?ABCD中，∠ADC=45°，AC與BD交于點(diǎn)O，E為AO上一點(diǎn)，EG∥BD交AD于點(diǎn)G，EF⊥EG交BC于點(diǎn)F．若∠EGF=40°，F(xiàn)G平分∠EFC，F(xiàn)G=8，求BF的長(zhǎng)．發(fā)布：2025/5/25 5:0:4組卷：1609引用：1難度：0.1 -
3．問(wèn)題提出：
（1）如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接PD，將PD繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PM，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AC于N，求PN的長(zhǎng)．
問(wèn)題解決：
（2）2022年3月我省局部發(fā)生疫情，為落實(shí)“科學(xué)防治、精準(zhǔn)施策、分級(jí)管理”，我省某小區(qū)設(shè)計(jì)防疫區(qū)域，在道路CD邊固定柱子（點(diǎn)Q），道路AB邊確定一點(diǎn)P，以PQ為邊，搭建正方形防疫區(qū)域PMNQ，內(nèi)部道路CD上設(shè)點(diǎn)E作為記錄處，△EPQ、△EPM、△EMN、△ENQ分別為不同的防疫物資放置區(qū)域，設(shè)計(jì)圖簡(jiǎn)化如圖2所示，已知道路兩邊AB∥CD，道路寬為6m,Q為CD上一定點(diǎn)，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥CD于E．請(qǐng)問(wèn)是否存在符合設(shè)計(jì)要求且面積最小的△EMN？若存在，請(qǐng)求出面積最小值及此時(shí)QE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
發(fā)布：2025/5/25 5:0:4組卷：214引用：2難度：0.1