設橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），右頂點是A（2，0），離心率為12．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l與橢圓交于兩點M，N（M，N不同于點A），若AM?AN=0，求證：直線l過定點，并求出定點坐標．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
1
2
AM
?
AN
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）．
（2）證明：當直線MN斜率不存在時，設lMN：x=m，
與橢圓方程聯立得：y=，|MN|=2，
設直線MN與x軸交于點B，|MB|=|AM|，即2-m=，
∴m=或m=2（舍），
∴直線m過定點（，0）；
當直線MN斜率存在時，設直線MN斜率為k，
M（x1，y1），N（x2，y2），則直線MN：y=kx+b，
與橢圓方程聯立，得（4k2+3）x2+8kbx+4b2-12=0，
x1+x2=-，x1x2=，
y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=kx1x2+kb（x1+x2）+b2，
Δ=（8kb）2-4（4k2+3）（4b2-12）＞0，k∈R，
=0，則（x1-2，y1）（x2-2，y2）=0，
即x1x2-2（x1+x2）+4+y1y2=0，
∴7b2+4k2+16kb=0，
∴b=-k，或b=-2k，
∴直線lMN：y=k（x-）或y=k（x-2），
∴直線過定點（，0）或（2，0）舍去；
綜上知直線過定點（，0）．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）證明：當直線MN斜率不存在時，設lMN：x=m，
與橢圓方程
x
2
4
+
y
2
3
=
1
3
（
1
-
m
2
4
）
3
（
1
-
m
2
4
）
設直線MN與x軸交于點B，|MB|=|AM|，即2-m=
3
（
1
-
m
2
4
）
∴m=
2
7
∴直線m過定點（
2
7
當直線MN斜率存在時，設直線MN斜率為k，
M（x1，y1），N（x2，y2），則直線MN：y=kx+b，
與橢圓方程
x
2
4
+
y
2
3
=
1
x1+x2=-
8
kb
4
k
2
+
3
4
b
2
-
12
4
k
2
+
3
y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=kx1x2+kb（x1+x2）+b2，
Δ=（8kb）2-4（4k2+3）（4b2-12）＞0，k∈R，
AM
?
AN
即x1x2-2（x1+x2）+4+y1y2=0，
∴7b2+4k2+16kb=0，
∴b=-
2
7
∴直線lMN：y=k（x-
2
7
∴直線過定點（
2
7
綜上知直線過定點（
2
7
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：165引用：9難度：0.6
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