焦點在x軸上的橢圓C：x2a2+y2b2=1經過點（2，2），橢圓C的離心率為22．F1，F2是橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任意點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若點M為OF2的中點（O為坐標原點），過M且平行于OP的直線l交橢圓C于A，B兩點，是否存在實數λ，使得λ|OP|2=|MA|?|MB|；若存在，請求出λ的值，若不存在，請說明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
2
，
2
）
2
2
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）．
（2）若直線的斜率不存在時，|OP|=2，，
所以；
當斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）．
聯立直線l與橢圓方程
，消去y，得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-8=0，
所以
．
因為OP∥l，設直線OP的方程為y=kx，
聯立直線OP與橢圓方程
，消去y，得（2k2+1）x2=8，解得．
∴，∴，
同理，∴|MA|?|MB|=（1+k2）|（x1-1）（x2-1）|，
因為，∴，
故，存在滿足條件，
綜上可得，存在滿足條件．
x
2
8
+
y
2
4
=
1
（2）若直線的斜率不存在時，|OP|=2，
|
MA
|
=
|
MB
|
=
14
2
所以
|
MA
|
|
MB
|
=
7
2
=
4
λ
?
λ
=
7
8
當斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）．
聯立直線l與橢圓方程
y = k （ x - 1 ） |
x 2 8 + y 2 4 = 1 |
所以
x 1 + x 2 = 4 k 2 2 k 2 + 1 |
x 1 x 2 = 2 k 2 - 8 2 k 2 + 1 |
因為OP∥l，設直線OP的方程為y=kx，
聯立直線OP與橢圓方程
y = kx |
x 2 8 + y 2 4 = 1 |
x
2
=
8
2
k
2
+
1
∴
|
OP
|
2
=
x
2
+
y
2
=
（
1
+
k
2
）
8
2
k
2
+
1
|
MA
|
=
（
x
1
-
1
）
2
+
y
2
1
=
1
+
k
2
|
x
1
-
1
|
同理
|
MB
|
=
1
+
k
2
|
x
2
-
1
|
因為
（
1
-
x
1
）
?
（
x
2
-
1
）
=
-
[
x
1
x
2
-
（
x
1
+
x
2
）
+
1
]
=
7
2
k
2
+
1
|
MA
|
?
|
MB
|
=
（
1
+
k
2
）
7
2
k
2
+
1
故
7
8
|
OP
|
2
=
|
MA
|
?
|
MB
|
λ
=
7
8
綜上可得，存在
λ
=
7
8
【解答】
【點評】
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發布：2024/7/17 8:0:9組卷：128引用：7難度：0.5
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