已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，雙曲線C的右頂點A在圓O：x2+y2=3上，且AF1?AF2=-1．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）動直線l與雙曲線C恰有1個公共點，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點M，N，設O為坐標原點．求證：△OMN的面積為定值．
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
A
F
1
?
A
F
2
=
-
1
【考點】雙曲線與平面向量．
【答案】（1）；
（2）設直線l與x軸交于D點，雙曲線的漸近線方程為，
由于動直線l與雙曲線C恰有1個公共點，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點M，N，
當動直線l的斜率不存在時，，
當動直線l的斜率存在時，且斜率，
不妨設直線l：y=kx+m，
故由
，
依題意，1-3k2≠0且m≠0，Δ=（-6mk）2-4（1-3k2）（-3m2-3）=0，
化簡得3k2=m2+1，
故由
，
同理可求，，
所以，
又因為原點O到直線l：kx-y+m=0的距離，
所以，又由3k2=m2+1，
所以，
故△OMN的面積是為定值，定值為．
x
2
3
-
y
2
=
1
（2）設直線l與x軸交于D點，雙曲線的漸近線方程為
y
=±
3
3
x
由于動直線l與雙曲線C恰有1個公共點，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點M，N，
當動直線l的斜率不存在時，
l
：
x
=±
3
，
|
OD
|
=
3
，
|
MN
|
=
2
，
S
△
OMN
=
1
2
×
3
×
2
=
3
當動直線l的斜率存在時，且斜率
k
≠±
3
3
不妨設直線l：y=kx+m，
故由
y = kx + m |
x 2 3 - y 2 = 1 |
?
（
1
-
3
k
2
）
x
2
-
6
mkx
-
3
m
2
-
3
=
0
依題意，1-3k2≠0且m≠0，Δ=（-6mk）2-4（1-3k2）（-3m2-3）=0，
化簡得3k2=m2+1，
故由
y = kx + m |
y = 3 3 x |
?
x
M
=
m
3
3
-
k
同理可求，
x
N
=
-
m
3
3
+
k
所以
|
MN
|
=
1
+
k
2
|
x
M
-
x
N
|
=
2
3
|
m
|
k
2
+
1
|
1
-
3
k
2
|
又因為原點O到直線l：kx-y+m=0的距離
d
=
|
m
|
k
2
+
1
所以
S
△
OMN
=
1
2
|
MN
|
d
=
3
m
2
|
1
-
3
k
2
|
所以
S
△
OMN
=
3
|
m
|
k
2
+
1
|
1
-
3
k
2
|
=
3
故△OMN的面積是為定值，定值為
3
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：211引用：3難度：0.5
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