已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一個焦點與拋物線y2=43x的焦點重合，且直線y=bax與圓x2+y2-10x+20=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設斜率為k且不過原點的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，O為坐標原點，直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，若k1，k,k2成等比數列，推斷|OA|2+|OB|2是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由．
x
2
a
2
y
2
b
2
3
b
a
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）+y2=1．
（2）設直線l的方程為y=kx+m（m≠0），點A（x1，y1），B（x2，y2），
將直線l的方程代入橢圓方程，得x2+4（kx+m）2=4，
即（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，
則x1+x2=-，x1x2=．
由已知，k2=k1k2==，
則k2x1x2=（kx1+m）（kx2+m），
即km（x1+x2）+m2=0，所以-+m2=0，即（1-4k2）m2=0．
因為m≠0，則k2=，即k=±，從而x1+x2=2m，x1x2=2m2-2．
所以|OA|2+|OB|2=+++y2=+（kx1+m）2++（kx2+m）2
=（k2+1）（+）+2km（x1+x2）+2m2
=（k2+1）[（x1+x2）2-2x1x2]+2km（x1+x2）+2m2．
=[4m2-2（2m2-2）]-2m2+2m2=5為定值．
x
2
4
（2）設直線l的方程為y=kx+m（m≠0），點A（x1，y1），B（x2，y2），
將直線l的方程代入橢圓方程，得x2+4（kx+m）2=4，
即（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，
則x1+x2=-
8
km
4
k
2
+
1
4
m
2
-
4
4
k
2
+
1
由已知，k2=k1k2=
y
1
y
2
x
1
x
2
（
k
x
1
+
m
）
（
k
x
2
+
m
）
x
1
x
2
則k2x1x2=（kx1+m）（kx2+m），
即km（x1+x2）+m2=0，所以-
8
k
2
m
2
4
k
2
+
1
因為m≠0，則k2=
1
4
1
2
所以|OA|2+|OB|2=
x
2
1
y
2
1
x
2
2
2
x
2
1
x
2
2
=（k2+1）（
x
2
1
x
2
2
=（k2+1）[（x1+x2）2-2x1x2]+2km（x1+x2）+2m2．
=
5
4
【解答】
【點評】
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發布：2024/7/19 8:0:9組卷：114引用：8難度：0.3
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