當前位置： 2007年臺灣省數學能力競賽決賽試卷> 試題詳情

p（x）為一整系數多項式，a、b為兩相異整數，p（a）=a₁，p（a₁）=a₂，…，p（a₂₀₀₅）=a₂₀₀₆，p（b）=b₁，p（b₁）=b₂，…，p（b₂₀₀₅）=b₂₀₀₆，若a₂₀₀₆=a、b₂₀₀₆=b,且a₁₀₀₃≠a,b₁₀₀₃≠b,試證：當a＜b時，a₁₀₀₃＞b₁₀₀₃．

【考點】規律型：數字的變化類；多項式．

【答案】證明過程見解答．

【解答】

【點評】

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發布：2024/5/27 14:0:0組卷：11引用：1難度：0.4

相似題

1．觀察下列等式：
第1個等式：
1
+
1
1
×
3
=
2
2
1
×
3
；
第2個等式：
1
+
1
2
×
4
=
3
2
2
×
4
；
第3個等式：
1
+
1
3
×
5
=
4
2
3
×
5
；
第4個等式：
1
+
1
4
×
6
=
5
2
4
×
6
……
按照以上規律，解決下列問題：
（1）寫出第5個等式：
；
（2）寫出第n個等式：
（用含n的等式表示），并證明；
（3）計算：
（
1
+
1
1
×
3
）
×
（
1
+
1
2
×
4
）
×
（
1
+
1
3
×
5
）
×
（
1
+
1
4
×
6
）
×
…
×
（
1
+
1
2020
×
2022
）
×
（
1
+
1
2021
×
2023
）
．
發布：2025/5/24 13:0:1組卷：545引用：5難度：0.5
解析
2．猜想與證明：
觀察下列各個等式的規律：
第一個等式：
1
1
×
2
=
1
-
1
2
；
第二個等式：
1
2
×
3
=
1
2
-
1
3
；
第三個等式：
1
3
×
4
=
1
3
-
1
4
；
第四個等式：
1
4
×
5
=
1
4
-
1
5
；
……
請用上述等式反映出的規律猜想并證明：
（1）直接寫出第五個等式；
（2）問題解決：猜想第n個等式（n≥1，用n的代數式表示），并證明你猜想的等式是正確的；
（3）一個容器裝有11水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出
1
2
L水，第2次倒出的水量是
1
2
L水的
1
3
，第3次倒出的水量是
1
3
L水的
1
4
，第4次倒出的水量是
1
4
L水的
1
5
，……第n次倒出的水量是
1
n
L水的
1
n
+
1
，…按照這種倒水的方法，求倒n次水倒出的總水量．
發布：2025/5/24 20:30:2組卷：87引用：1難度：0.6
解析
3．觀察下列關于自然數的等式：
3×1×2=1×2×3-0×1×2，①
3×2×3=2×3×4-1×2×3，②
3×3×4=3×4×5-2×3×4，③
…
根據上述規律解決下列問題：
（1）完成第四個等式：3×4×5=
；
（2）寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并驗證其正確性；
（3）根據你發現的規律，可知1×2+2×3+3×4+…+99×100=
．（直接寫出結果即可）
發布：2025/5/24 18:0:1組卷：283引用：5難度：0.5
解析

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2007年臺灣省數學能力競賽決賽試卷

p（x）為一整系數多項式，a、b為兩相異整數，p（a）=a1，p（a1）=a2，…，p（a2005）=a2006，p（b）=b1，p（b1）=b2，…，p（b2005）=b2006，若a2006=a、b2006=b,且a1003≠a,b1003≠b,試證：當a＜b時，a1003＞b1003．