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          設橢圓C:
          x
          2
          2
          +y2=1的右焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標為(2,0).
          (1)當l與x軸垂直時,求直線AM的方程;
          (2)設O為坐標原點,證明:∠OMA=∠OMB.

          【答案】(1)y=-
          2
          2
          x+
          2
          ,y=
          2
          2
          x-
          2
          ,
          (2)法一:當l與x軸重合時,∠OMA=∠OMB=0°,
          當l與x軸垂直時,OM為AB的垂直平分線,∴∠OMA=∠OMB,
          當l與x軸不重合也不垂直時,設l的方程為y=k(x-1),k≠0,
          A(x1,y1),B(x2,y2),則x1
          2
          ,x2
          2

          直線MA,MB的斜率之和為kMA,kMB之和為kMA+kMB=
          y
          1
          x
          1
          -
          2
          +
          y
          2
          x
          2
          -
          2
          ,
          由y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB=
          2
          k
          x
          1
          x
          2
          -
          3
          k
          x
          1
          +
          x
          2
          +
          4
          k
          x
          1
          -
          2
          x
          2
          -
          2

          將y=k(x-1)代入
          x
          2
          2
          +y2=1可得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
          ∴x1+x2=
          4
          k
          2
          2
          k
          2
          +
          1
          ,x1x2=
          2
          k
          2
          -
          2
          2
          k
          2
          +
          1

          ∴2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=
          1
          2
          k
          2
          +
          1
          (4k3-4k-12k3+8k3+4k)=0
          從而kMA+kMB=0,
          故MA,MB的傾斜角互補,
          ∴∠OMA=∠OMB,
          綜上∠OMA=∠OMB.
          法二:當l與x軸重合時,∠OMA=∠OMB=0°,
          當l與x軸垂直時,OM為AB的垂直平分線,∴∠OMA=∠OMB,
          當l與x軸不重合也不垂直時,設l的方程為y=k(x-1),k≠0,
          A(x1,y1),B(x2,y2),不妨設x1>0,x2<0,
          由題意可知,∠OMA,∠OMB均為銳角,
          要證∠OMA=∠OMB,只需證tan∠OMA=tan∠OMB,即證
          y
          1
          2
          -
          x
          1
          =
          -
          y
          2
          2
          -
          x
          2

          只需證(x1-1)(2-x2)=-(x2-1)(1-x1),即3(x1+x2)-2x1x2-4=0①,
          將y=k(x-1)代入
          x
          2
          2
          +y2=1可得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
          ∴x1+x2=
          4
          k
          2
          2
          k
          2
          +
          1
          ,x1x2=
          2
          k
          2
          -
          2
          2
          k
          2
          +
          1
           ②,
          將②代入①可得,
          3
          ?
          4
          k
          2
          2
          k
          2
          +
          1
          -
          2
          ?
          2
          k
          2
          -
          2
          1
          +
          2
          k
          2
          -
          4
          =
          0
          ,即原式成立.
          【解答】
          【點評】
          聲明:本試題解析著作權屬菁優網所有,未經書面同意,不得復制發布。
          發布:2024/6/27 10:35:59組卷:11580引用:24難度:0.3
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