設橢圓C：x22+y2=1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為（2，0）．
（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；
（2）設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB．
x
2
2
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）y=-x+，y=x-，
（2）法一：當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°，
當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，∴∠OMA=∠OMB，
當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為y=k（x-1），k≠0，
A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＜，x2＜，
直線MA，MB的斜率之和為kMA，kMB之和為kMA+kMB=+，
由y1=kx1-k，y2=kx2-k得kMA+kMB=，
將y=k（x-1）代入+y2=1可得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，
∴x1+x2=，x1x2=，
∴2kx1x2-3k（x1+x2）+4k=（4k3-4k-12k3+8k3+4k）=0
從而kMA+kMB=0，
故MA，MB的傾斜角互補，
∴∠OMA=∠OMB，
綜上∠OMA=∠OMB．
法二：當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°，
當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，∴∠OMA=∠OMB，
當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為y=k（x-1），k≠0，
A（x1，y1），B（x2，y2），不妨設x1＞0，x2＜0，
由題意可知，∠OMA，∠OMB均為銳角，
要證∠OMA=∠OMB，只需證tan∠OMA=tan∠OMB，即證，
只需證（x1-1）（2-x2）=-（x2-1）（1-x1），即3（x1+x2）-2x1x2-4=0①，
將y=k（x-1）代入+y2=1可得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，
∴x1+x2=，x1x2= ②，
將②代入①可得，，即原式成立．
2
2
2
2
2
2
（2）法一：當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°，
當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，∴∠OMA=∠OMB，
當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為y=k（x-1），k≠0，
A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＜
2
2
直線MA，MB的斜率之和為kMA，kMB之和為kMA+kMB=
y
1
x
1
-
2
y
2
x
2
-
2
由y1=kx1-k，y2=kx2-k得kMA+kMB=
2
k
x
1
x
2
-
3
k
（
x
1
+
x
2
）
+
4
k
（
x
1
-
2
）
（
x
2
-
2
）
將y=k（x-1）代入
x
2
2
∴x1+x2=
4
k
2
2
k
2
+
1
2
k
2
-
2
2
k
2
+
1
∴2kx1x2-3k（x1+x2）+4k=
1
2
k
2
+
1
從而kMA+kMB=0，
故MA，MB的傾斜角互補，
∴∠OMA=∠OMB，
綜上∠OMA=∠OMB．
法二：當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°，
當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，∴∠OMA=∠OMB，
當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為y=k（x-1），k≠0，
A（x1，y1），B（x2，y2），不妨設x1＞0，x2＜0，
由題意可知，∠OMA，∠OMB均為銳角，
要證∠OMA=∠OMB，只需證tan∠OMA=tan∠OMB，即證
y
1
2
-
x
1
=
-
y
2
2
-
x
2
只需證（x1-1）（2-x2）=-（x2-1）（1-x1），即3（x1+x2）-2x1x2-4=0①，
將y=k（x-1）代入
x
2
2
∴x1+x2=
4
k
2
2
k
2
+
1
2
k
2
-
2
2
k
2
+
1
將②代入①可得，
3
?
4
k
2
2
k
2
+
1
-
2
?
2
k
2
-
2
1
+
2
k
2
-
4
=
0
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：11580引用：24難度：0.3
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