已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數(shù)關系，直線l：x-y+2=0與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設M是橢圓的上頂點，過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為k1，k2，且k1+k2=4，證明：直線AB過定點（-12，-1）．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
l
：
x
-
y
+
2
=
0
-
1
2
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（I）；
（II）由（I）可知：M（0，1）．
①若直線AB的斜率不存在，設方程為x=x0，則A（x0，y0），B（x0，-y0）．
由已知得，解得，
此時直線AB的方程為，顯然過點．
②若直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=kx+m，由橢圓m≠±1．
設A（x1，y1），B（x2，y2）．聯(lián)立
．
化為（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
∴，．（*）
∵k1+k2=4，∴，
∴，化為．
把（*）代入得，∴k=2（m+1），∴．
∴直線AB的方程為，即，
∴直線AB過定點．
x
2
2
+
y
2
=
1
（II）由（I）可知：M（0，1）．
①若直線AB的斜率不存在，設方程為x=x0，則A（x0，y0），B（x0，-y0）．
由已知得
y
0
-
1
x
0
+
-
y
0
-
1
x
0
=
4
x
0
=
-
1
2
此時直線AB的方程為
x
=
-
1
2
（
-
1
2
，-
1
）
②若直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=kx+m，由橢圓m≠±1．
設A（x1，y1），B（x2，y2）．聯(lián)立
y = kx + m |
x 2 + 2 y 2 = 2 |
化為（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
∴
x
1
+
x
2
=
-
4
km
1
+
2
k
2
x
1
x
2
=
2
m
2
-
2
1
+
2
k
2
∵k1+k2=4，∴
y
1
-
1
x
1
+
y
2
-
1
x
2
=
4
∴
k
x
1
+
m
-
1
x
1
+
k
x
2
+
m
-
1
x
2
=
4
2
k
+
（
m
-
1
）
x
1
+
x
2
x
1
x
2
=
4
把（*）代入得
k
-
km
m
+
1
=
2
m
=
k
2
-
1
∴直線AB的方程為
y
=
kx
+
k
2
-
1
y
=
k
（
x
+
1
2
）
-
1
∴直線AB過定點
（
-
1
2
，-
1
）
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：73引用：6難度：0.1
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