已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率22，短軸長(zhǎng)為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0），證明：∠OMA=∠OMB．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
2
2
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．
【答案】（Ⅰ）+y2=1；
（Ⅱ）證明：由（1）知橢圓C的右焦點(diǎn)為F（1，0），
設(shè)直線l：x=my+1，
設(shè)直線l與橢圓C的交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立橢圓x2+2y2=2，
得（2+m2）y2+2my-1=0，
Δ=4m2+4（2+m2）＞0恒成立，
y1+y2=-，y1y2=-
kAM+kBM=+
==
=，
由2my1y2-（y1+y2）=2m?（-）-（-）=0，
可得kAM+kBM=0，
則∠OMA=∠OMB．
x
2
2
（Ⅱ）證明：由（1）知橢圓C的右焦點(diǎn)為F（1，0），
設(shè)直線l：x=my+1，
設(shè)直線l與橢圓C的交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立橢圓x2+2y2=2，
得（2+m2）y2+2my-1=0，
Δ=4m2+4（2+m2）＞0恒成立，
y1+y2=-
2
m
2
+
m
2
1
2
+
m
2
kAM+kBM=
y
1
x
1
-
2
y
2
x
2
-
2
=
y
1
（
x
2
-
2
）
+
y
2
（
x
1
-
2
）
（
x
1
-
2
）
（
x
2
-
2
）
y
1
（
m
y
2
-
1
）
+
y
2
（
m
y
1
-
1
）
（
x
1
-
2
）
（
x
2
-
2
）
=
2
m
y
1
y
2
-
（
y
1
+
y
2
）
（
x
1
-
2
）
（
x
2
-
2
）
由2my1y2-（y1+y2）=2m?（-
1
2
+
m
2
2
m
2
+
m
2
可得kAM+kBM=0，
則∠OMA=∠OMB．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/9/8 3:0:9組卷：127引用：5難度：0.5
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1．已知橢圓C：
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，-1），離心率為x2a2+y2b2．32
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（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：4539引用：26難度：0.3 -
3．如果橢圓
的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ）x236+y29=1發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：456引用：3難度：0.6
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