在探究矩形的性質時，小明得到了一個有趣的結論：矩形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．如圖1，在矩形ABCD中，由勾股定理，得AC2=AB2+BC2，BD2=AB2+AD2，又CD=AB，AD=BC，所以AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2=2（AB2+BC2）．
小亮對菱形進行了探究，也得到了同樣的結論，于是小亮猜想：任意平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．請你解決下列問題：
（1）如圖2，已知：四邊形ABCD是菱形，求證：AC2+BD2=2（AB2+BC2）；
（2）你認為小亮的猜想是否成立，如果成立，請利用圖3給出證明；如果不成立，請舉反例說明；
（3）如圖4，在△ABC中，BC、AC、AB的長分別為a、b、c,AD是BC邊上的中線．試求AD的長．（結果用a,b,c表示）
【考點】四邊形綜合題．
【答案】見試題解答內容
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：258引用：2難度：0.1
相似題
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1．如圖1，在四邊形ABCD中，E，F，G，H是各邊中點，連接EF，EH，HG，GF．可得到以下結論：
結論1：四邊形EFGH是平行四邊形；
結論2：四邊形EFGH的面積是四邊形ABCD的一半；
（1）試證明結論1．
（2）探究與應用：（提示：以下問題可以直接使用上述結論）
①如圖2，在四邊形ABCD中，E，G分別為邊AB，DC的中點，連接EG．已知AD=8，BC=6，求出線段EG的取值范圍．
②如圖3，在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點，連接EG，FH交于點O，若HF=10，EG=7，∠EOH=60°，試求出四邊形ABCD的面積．
發布：2025/6/4 19:30:1組卷：95引用：1難度：0.1 -
2．（1）[方法回顧]：課本上“三角形中位線定理”的證明．已知：如圖1，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點．求證：DE=
BC，DE∥BC，證明：如圖1，延長DE到點F，使得EF=DE，連接CF；請繼續完成證明過程；12
（2）[問題解決]：如圖2，AB∥CD，E為AD的中點，G、F分別為射線AB、DC上的點，∠GEF=90°，線段AG、DF、FG有怎樣的數量關系？請說明理由；
（3）[思維拓展]：如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠GEF=90°，∠D=120°，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，H是GF的中點，若AG=2，DF=6（注：23=3），EH的長為 ．12
發布：2025/6/4 19:30:1組卷：242引用：2難度：0.1 -
3．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm,AD=12cm,BC=18cm,點P從點A出發，以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發，以2cm/s的速度向點B運動．規定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．設點P，Q運動的時間為t s.
（1）CD邊的長度為 cm,t的取值范圍為 ．
（2）從運動開始，當t取何值時，PQ∥CD？
（3）從運動開始，當t取何值時，PQ=CD？
（4）在整個運動過程中是否存在t值，使得四邊形PQCD是菱形？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由．發布：2025/6/4 18:30:2組卷：259引用：3難度：0.2