已知橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），右焦點為F（2，0），且離心率為63．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設M，N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線x2+y2=b2（x＞0）相切．證明：M，N，F三點共線的充要條件是|MN|=3．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
2
6
3
3
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）+y2=1；
（2）證明：由（1）得，曲線為x2+y2=1（x＞0），
當直線MN的斜率不存在時，直線MN：x=1，不合題意；
當直線MN的斜率存在時，設M（x1，y1），N（x2，y2）．
充分性的證明：設直線MN：y=kx+b（kb＜0）即kx-y+b=0，
由直線MN與曲線x2+y2=1（x＞0）相切可得=1，所以b2=k2+1，
聯立
可得（1+3k2）x2+6kbx+3b2-3=0，
Δ=36k2b2-4（1+3k2）（3b2-3）＞0，即b2＜1+3k2，
所以x1+x2=，x1?x2=，
所以|MN|=?=?，
=?，
化簡得3（k2-1）2=0，所以k=±1，
所以
或
，
所以直線MN：y=x-或y=-x+，
所以直線MN過點F（，0），即M，N，F三點共線，充分性成立．
必要性的證明：當M、N、F三點共線，可設直線MN：y=k（x-）即kx-y-k=0，
由直線MN與曲線x2+y2=1（x＞0）相切，可得=1，解得k=±1，
聯立
，整理可得4x2-6x+3=0，
顯然Δ＞0成立，且x1+x2=，x1?x2=，
所以|MN|=?=?=，
所以必要性成立；
所以M，N，F三點共線的充要條件是|MN|=．
x
2
3
（2）證明：由（1）得，曲線為x2+y2=1（x＞0），
當直線MN的斜率不存在時，直線MN：x=1，不合題意；
當直線MN的斜率存在時，設M（x1，y1），N（x2，y2）．
充分性的證明：設直線MN：y=kx+b（kb＜0）即kx-y+b=0，
由直線MN與曲線x2+y2=1（x＞0）相切可得
|
b
|
k
2
+
1
聯立
y = kx + b ， |
x 2 3 + y 2 = 1 |
Δ=36k2b2-4（1+3k2）（3b2-3）＞0，即b2＜1+3k2，
所以x1+x2=
-
6
kb
1
+
3
k
2
3
b
2
-
3
1
+
3
k
2
所以|MN|=
1
+
k
2
（
x
1
+
x
2
）
2
-
4
x
1
?
x
2
1
+
k
2
（
-
6
kb
1
+
3
k
2
）
2
-
4
?
3
b
2
-
3
1
+
3
k
2
=
1
+
k
2
24
k
2
1
+
3
k
2
=
3
化簡得3（k2-1）2=0，所以k=±1，
所以
k = 1 |
b = - 2 |
k = - 1 |
b = 2 |
所以直線MN：y=x-
2
2
所以直線MN過點F（
2
必要性的證明：當M、N、F三點共線，可設直線MN：y=k（x-
2
2
由直線MN與曲線x2+y2=1（x＞0）相切，可得
|
2
k
|
k
2
+
1
聯立
y =± （ x - 2 ） |
x 2 + 3 y 2 = 3 |
2
顯然Δ＞0成立，且x1+x2=
3
2
2
3
4
所以|MN|=
1
2
+
（
±
1
）
2
（
x
1
+
x
2
）
2
-
4
x
1
x
2
2
9
2
-
4
?
3
4
3
所以必要性成立；
所以M，N，F三點共線的充要條件是|MN|=
3
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：448難度：0.6
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