如果把一個奇數位的自然數各數為上的數字從最高位到個位依次排列，與從個位到最高位依次排列出的一串數字完全相同，相鄰兩個數位上的數字之差的絕對值相等（不等于0），且該數正中間的數字與其余數字均不同，我們把這樣的自然數稱為“階梯數”，例如自然數12321，從最高位到個位依次排出的一串數字是：1，2，3，2，1，從個位到最高位依次排出的一串數字仍是：1，2，3，2，1，且|1-2|=|2-3|=|3-2|=|2-1|=1，因此12321是一個“階梯數”，又如262，85258，…，都是“階梯數”，若一個“階梯數”t從左數到右，奇數位上的數字之和為M，偶數位上的數字之和為N，記P（t）=2N-M，Q（t）=M+N．
（1）已知一個三位“階梯數”t,其中P（t）=12，且Q（t）為一個完全平方數，求這個三位數；
（2）已知一個五位“階梯數”t能被4整除，且Q（t）除以4余2，求該五位“階梯數”t的最大值與最小值．
【考點】完全平方數．
【答案】見試題解答內容
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：601引用：2難度：0.1
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1．將一個三位正整數n各數位上的數字重新排列后（含n本身），得到新三位數abc（a＜c），在所有重新排列中，當|a+c-2b|最小時，我們稱abc是n的“調和優選數”，并規定F（n）=b2-ac.例如215可以重新排列為125、152、215，因為|1+5-2×2|=2，|1+2-2×5|=7，|2+5-2×1|=7，且2＜5＜7，所以125是215的“調和優選數”，F（215）=22-1×5=-1．
（1）F（236）=；
（2）如果在正整數n三個數位上的數字中，有一個數是另外兩個數的平均數，求證：F（n）是一個完全平方數；
（3）設三位自然數t=100x+60+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x,y為自然數），交換其個位上的數字與百位上的數字得到數t′．若t-t′=693，那么我們稱t為“和順數”．求所有“和順數”中F（t）的最大值．發布：2025/5/24 19:0:1組卷：121引用：1難度：0.4 -
2．對任意一個四位數n,如果千位與十位上的數字之和為9，百位與個位上的數字之和也為9，則稱n為“極數”．
（1）請任意寫出兩個“極數”，；
（2）猜想任意一個“極數”是否是99的倍數，請說明理由；
（3）如果一個正整數a是另一個正整數b的平方，則稱正整數a是完全平方數．若四位數m為“極數”，記D（m）=，則滿足D（m）是完全平方數的所有m的值是 ．m33發布：2024/8/27 6:0:10組卷：276引用：4難度：0.4 -
3．任意一個大于1的整數n都可以分割為兩個正整數的和：n=p+q（p、q是正整數，且p≤q）．在n的所有這種分割中．如果p、q兩數的乘積最大，我們就稱p+q是n的“完美分割”．并規定在“完美分割”時：T（n）=pq.例如：6可以分解成1+5，2+4或3+3．因為1×5＜2×4＜3×3．所以3+3是6的“完美分割”．所以T（6）=3×3=9．
（1）求T（17）的值；
（2）證明：任何一個大于0的偶數2k（k為正整數）都有T（2k）=k2；
（3）一個正整數，由N個數字組成．若從左向右它的第一位數能被1整除，它的前兩位數被2除余1，前三位數被3除余2，前四位數被4除余3，…，一直到前N位數被N除余（N-1），我們稱這樣的數為“奇特數”，如：236的第一位數“2”能被1整除，前兩位數“23”被2除余1，“236”被3除余2，則236是一個“奇特數”．若一個小于200的三位“奇特數”記為t,它的各位數字之和再加上1為一個完全平方數，請求出所有“奇特數”中T（t）的最大值．發布：2024/11/5 8:0:2組卷：103引用：0難度：0.4
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