2022年重慶市中考數學專題試卷（1）

一、例題講解：

• 1．對于一個三位正整數t,將各數位上的數字重新排序后（包括本身），得到一個新的三位數

  abc

  （a≤c），在所有重新排列的三位數中，當|a+c-2b|最小時，稱此時的

  abc

  為t的“最優組合”，并規定F（t）=|a-b|-|b-c|，例如：124重新排序后為：142、214、因為|1+4-4|=1，|1+2-8|=5，|2+4-2|=4，所以124為124的“最優組合”，此時F（124）=-1．
  （1）三位正整數t中，有一個數位上的數字是另外兩數位上的數字的平均數，求證：F（t）=0；
  （2）一個正整數，由N個數字組成，若從左向右它的第一位數能被1整除，它的前兩位數能被2整除，前三位數能被3整除，…，一直到前N位數能被N整除，我們稱這樣的數為“善雅數”．例如：123的第一位數1能被1整除，它的前兩位數12能被2整除，前三位數123能被3整除，則123是一個“善雅數”．若三位“善雅數”m=200+10x+y（0≤x≤9，0≤y≤9，x、y為整數），m的各位數字之和為一個完全平方數，求出所有符合條件的“善雅數”中F（m）的最大值．
  組卷：623引用：3難度：0.3

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• 2．一個三位正整數N，各個數位上的數字互不相同且都不為0，若從它的百位、十位、個位上的數字任意選擇兩個數字組成兩位數，所有這些兩位數的和等于這個三位數本身，則稱這樣的三位數N為“公主數”，例如：132，選擇百位數字1和十位數字3組成的兩位數為13和31，選擇百位數字1和個位數字2組成的兩位數為12和21，選擇十位數字3和個位數字2組成的兩位數為32和23．因為13+31+12+21+32+23=132，所以132是“公主數”．試判斷123是不是“公主數”？請說明理由．
  組卷：66引用：1難度：0.6

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• 3．若一個三位整數，百位上數字的2倍加上十位上數字的3倍，再加上個位上數字所得的和能被7整除，則稱這個整數為“勞動數”．
  例如：判斷210是“勞動數”的過程如下：2×2+3×1+0=7，∵7能被7整除，∴210是“勞動數”；
  判斷322是“勞動數”的過程如下：2×3+3×2+2=14，∵14能被7整除，∴322是“勞動數”；
  （1）直接寫出最小的“勞動數”為

  ，并請用上面的方法判斷448是否為“勞動數”；
  （2）試證明：所有的“勞動數”均能被7整除．
  組卷：319引用：4難度：0.3

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• 4．有一個百位數字為1的三位整數，它能被7整除．將這個三位數的百位數字和個位數字交換所產生的新三位整數仍能夠被7整除，求這個三位數．
  組卷：24引用：1難度：0.5

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四、課后作業：

• 13．如果把一個奇數位的自然數各數為上的數字從最高位到個位依次排列，與從個位到最高位依次排列出的一串數字完全相同，相鄰兩個數位上的數字之差的絕對值相等（不等于0），且該數正中間的數字與其余數字均不同，我們把這樣的自然數稱為“階梯數”，例如自然數12321，從最高位到個位依次排出的一串數字是：1，2，3，2，1，從個位到最高位依次排出的一串數字仍是：1，2，3，2，1，且|1-2|=|2-3|=|3-2|=|2-1|=1，因此12321是一個“階梯數”，又如262，85258，…，都是“階梯數”，若一個“階梯數”t從左數到右，奇數位上的數字之和為M，偶數位上的數字之和為N，記P（t）=2N-M，Q（t）=M+N．
  （1）已知一個三位“階梯數”t,其中P（t）=12，且Q（t）為一個完全平方數，求這個三位數；
  （2）已知一個五位“階梯數”t能被4整除，且Q（t）除以4余2，求該五位“階梯數”t的最大值與最小值．
  組卷：601引用：2難度：0.1

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• 14．對于各位數字都不為0的兩位數m和三位數n,將m中的任意一個數字作為一個新的兩位數的十位數字，將n中的任意一個數字作為該新數的兩位數的個位數字，按照這種方式產生的所有新的兩位數的和記為F（m,n），例如：F（12，345）=13+14+15+23+24+25=114
  （1）F（24，579）=

  ，并求證：當n能被3整除時，F（m,n）一定能被6整除；
  （2）若一個兩位數s=21x+y,一個三位數t=12x+y+198（其其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x、y均為整數）．交換三位數t的百位數字和個位數字得到新數t′，當t′與s的個位數字的3倍的和被7除余1時，稱這樣的兩個數s和t為“幸運數對”，求所有“幸運數對”中F（s,t）的最大值．
  組卷：90引用：1難度：0.4

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