已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右頂點分別為A1（-2，0），A2（2，0），右焦點為F，點T（1，32）在橢圓上．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）P為橢圓上不與A1，A2重合的任意一點，直線A1P，A2P分別與直線x=4相交于點M，N，求證：FM⊥FN．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
T
（
1
，
3
2
）
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）；
（2）由（1）知c=1，∴F（1，0），
設P（x0，y0），則，
∴直線A1P的方程為，
令x=4，則，即，
又直線A2P的方程為，
令x=4，則，即，
∴
=，
∴，即FM⊥FN．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）由（1）知c=1，∴F（1，0），
設P（x0，y0），則
x
0
2
4
+
y
0
2
3
=
1
∴直線A1P的方程為
y
-
y
0
=
y
0
x
0
+
2
（
x
-
x
0
）
令x=4，則
y
M
=
6
y
0
x
0
+
2
M
（
4
，
6
y
0
x
0
+
2
）
又直線A2P的方程為
y
-
y
0
=
y
0
x
0
-
2
（
x
-
x
0
）
令x=4，則
y
N
=
2
y
0
x
0
-
2
N
（
4
，
2
y
0
x
0
-
2
）
∴
FM
?
FN
=
（
3
，
6
y
0
x
0
+
2
）
?
（
3
，
2
y
0
x
0
-
2
）
=
3
×
3
+
6
y
0
x
0
+
2
×
2
y
0
x
0
-
2
=
9
+
12
y
0
2
x
0
2
-
4
=
9
+
12
×
3
（
1
-
x
0
2
4
）
x
0
2
-
4
=
9
+
（
-
9
）
=
0
∴
FM
⊥
FN
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：112引用：7難度：0.5
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