已知橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦點F的坐標為（1，0），離心率e=22．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設點P、Q為橢圓上位于第一象限的兩個動點，滿足PF⊥QF，C為PQ的中點，線段PQ的垂直平分線分別交x軸、y軸于A、B兩點．
（i）求證：A為BC的中點；
（ii）若S△ABOS△BCF=35（S為三角形的面積），求直線PQ的方程．
x
2
a
2
y
2
b
2
2
2
S
△
ABO
S
△
BCF
3
5
【答案】（Ⅰ）=1．
（Ⅱ）（i）證明：設點P、Q為橢圓上位于第一象限的兩個動點，滿足PF⊥QF，
C為PQ的中點，線段PQ的垂直平分線分別交x軸、y軸于A、B兩點．
設直線PQ的方程為y=kx+m，（k≠0），
P（x1，y1），Q（x2，y2），聯立
，
整理，得：（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，
由韋達定理得，x1x2=，
∴C（），
線段PQ的垂直平分線AB的方程為y-=-（x+），
令y=0，得A（-，0），令x=0，得B（0，），
∵，yA=，
∴A為BC的中點．
（ii）y=-x+．
x
2
2
+
y
2
（Ⅱ）（i）證明：設點P、Q為橢圓上位于第一象限的兩個動點，滿足PF⊥QF，
C為PQ的中點，線段PQ的垂直平分線分別交x軸、y軸于A、B兩點．
設直線PQ的方程為y=kx+m，（k≠0），
P（x1，y1），Q（x2，y2），聯立
x 2 2 + y 2 = 1 |
y = kx + m |
整理，得：（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，
由韋達定理得
x
1
+
x
2
=
-
4
km
2
k
2
+
1
2
（
m
2
-
1
）
2
k
2
+
1
∴C（
-
2
km
2
k
2
+
1
，
m
2
k
2
+
1
線段PQ的垂直平分線AB的方程為y-
m
2
k
2
+
1
1
k
2
km
2
k
2
+
1
令y=0，得A（-
km
2
k
2
+
1
-
m
2
k
2
+
1
∵
x
A
=
x
B
+
x
C
2
y
B
+
y
C
2
∴A為BC的中點．
（ii）y=-
2
3
3
3
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：490引用：4難度：0.4
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