已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）過點（0，3），且離心率為12．設A，B為橢圓C的左、右頂點，P為橢圓上異于A，B的一點，直線AP，BP分別與直線l：x=4相交于M，N兩點，且直線MB與橢圓C交于另一點H．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）求證：直線AP與BP的斜率之積為定值；
（Ⅲ）判斷三點A，H，N是否共線，并證明你的結論．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
（
0
，
3
）
1
2
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）根據題意，直線AP，BP的斜率都存在且不為零．A（-2，0），B（2，0），
設P（x0，y0），則（-2＜x0＜2）．
則，
因為點P在橢圓上，則，所以，，
所以，
所以直線AP與BP的斜率之積為定值；
（III）共線．
三點A、H、N共線．證明如下：
設直線AP的方程為y=k（x+2）（k≠0），則直線BP的方程為，
所以，M（4，6k），，，
設直線HM：y=3k（x-2），
聯立方程組
，消去y整理得，（1+12k2）x2-48k2x+48k2-4=0．
設H（x1，y1），則，所以，．
所以，
因A（-2，0）、，，，
所kAN=kAH，所以三點A，H，N共線．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（Ⅱ）根據題意，直線AP，BP的斜率都存在且不為零．A（-2，0），B（2，0），
設P（x0，y0），則
x
0
2
4
+
y
0
2
3
=
1
則
k
AP
?
k
BP
=
y
0
x
0
+
2
?
y
0
x
0
-
2
=
y
2
0
x
2
0
-
4
因為點P在橢圓上，則
x
2
0
4
+
y
2
0
3
=
1
y
2
0
=
3
（
1
-
x
2
0
4
）
=
3
（
4
-
x
2
0
）
4
所以
k
AP
?
k
BP
=
y
2
0
x
2
0
-
4
=
3
4
（
4
-
x
2
0
）
x
2
0
-
4
=
-
3
4
所以直線AP與BP的斜率之積為定值
-
3
4
（III）共線．
三點A、H、N共線．證明如下：
設直線AP的方程為y=k（x+2）（k≠0），則直線BP的方程為
y
=
-
3
4
k
（
x
-
2
）
所以，M（4，6k），
N
（
4
，-
3
2
k
）
k
BM
=
6
k
4
-
2
=
3
k
設直線HM：y=3k（x-2），
聯立方程組
y = 3 k （ x - 2 ） |
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
設H（x1，y1），則
2
x
1
=
48
k
2
-
4
12
k
2
+
1
x
1
=
24
k
2
-
2
12
k
2
+
1
y
1
=
3
k
（
x
1
-
2
）
=
-
12
k
12
k
2
+
1
所以
H
（
24
k
2
-
2
12
k
2
+
1
，-
12
k
12
k
2
+
1
）
因A（-2，0）、
N
（
4
，-
3
2
k
）
k
AN
=
-
3
2
k
6
=
-
1
4
k
k
AH
=
-
12
k
12
k
2
+
1
24
k
2
-
2
12
k
2
+
1
+
2
=
-
1
4
k
所kAN=kAH，所以三點A，H，N共線．
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：243引用：10難度：0.3
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