已知點P（2，1）在橢圓C：x28+y2b2=1上．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若直線l：x-2y+m=0（m≠0）與橢圓C交于兩個不同的點A，B，直線PA，PB與x軸分別交于M，N兩點，求證：|PM|=|PN|．
x
2
8
+
y
2
b
2
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）．
（2）將直線l：x-2y+m=0（m≠0）代入橢圓方程得，
2x2+2mx+m2-8=0，
∵直線l：x-2y+m=0（m≠0）與橢圓C交于兩個不同的點A，B，
∴Δ=4m2-8（m2-8）＞0，
解得-4＜m＜0，或0＜m＜4，
設A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=-m，x1 x2=，y1=，y2=，
設PA與PB的斜率分別為k1，k2，
∴k1+k2=
=
=
=
=0，
因為k1+k2=0，
∴∠PMN=∠PNM，
所以|PM|=|PN|
3
2
（2）將直線l：x-2y+m=0（m≠0）代入橢圓方程
x
2
8
+
y
2
2
=
1
2x2+2mx+m2-8=0，
∵直線l：x-2y+m=0（m≠0）與橢圓C交于兩個不同的點A，B，
∴Δ=4m2-8（m2-8）＞0，
解得-4＜m＜0，或0＜m＜4，
設A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=-m，x1 x2=
m
2
-
8
2
x
1
+
m
2
x
2
+
m
2
設PA與PB的斜率分別為k1，k2，
∴k1+k2=
y
1
-
y
1
x
1
+
y
2
-
1
x
2
=
（
x
1
+
m
2
-
1
）
（
x
2
-
2
）
+
（
x
2
+
m
2
-
1
）
（
x
1
-
2
）
（
x
2
-
2
）
=
2
x
1
x
2
+
（
m
-
4
）
（
x
1
+
x
2
）
-
4
（
m
-
2
）
2
（
x
1
-
2
）
（
x
2
-
2
）
=
m
2
-
8
-
m
2
+
4
m
-
4
m
+
8
2
（
x
1
-
2
）
（
x
2
-
2
）
=0，
因為k1+k2=0，
∴∠PMN=∠PNM，
所以|PM|=|PN|
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權屬菁優網所有，未經書面同意，不得復制發布。
發布：2024/4/20 14:35:0組卷：10引用：1難度：0.5
相似題
-
1．已知橢圓C：
=1（a＞b＞0）的一個頂點坐標為A（0，-1），離心率為x2a2+y2b2．32
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點P，Q，線段PQ的中點為M，點B（1，0），求證：點M不在以AB為直徑的圓上．發布：2024/12/29 12:30:1組卷：371引用：4難度：0.5 -
2．設橢圓
+x2a2=1（a＞b＞0）的右頂點為A，上頂點為B．已知橢圓的離心率為y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點，直線l與直線AB交于點M，且點P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．發布：2024/12/29 12:30:1組卷：4552引用：26難度：0.3 -
3．如果橢圓
的弦被點（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ）x236+y29=1發布：2024/12/18 3:30:1組卷：457引用：3難度：0.6