已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距和長半軸長都為2．過橢圓C的右焦點F作斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設點A是橢圓C的左頂點，直線AP，AQ分別與直線x=4相交于點M，N．求證：以MN為直徑的圓恒過點F．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
【答案】（Ⅰ）+=1；
（Ⅱ）證明：F（1，0），A（-2，0），直線l的方程為y=k（x-1），
聯立橢圓方程可得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
直線l過橢圓的焦點，顯然直線l與橢圓相交．設P（x1，y1），Q（x2，y2），
則x1+x2=，x1x2=，直線AP的方程為y=（x+2），
可令x=4，得yM=，即M（4，），
同理可得N（4，），所以=（3，），=（3，），
又?=9+
=9+=9+=9+
=9+=9-9=0．
所以以MN為直徑的圓恒過點F．
x
2
4
y
2
3
（Ⅱ）證明：F（1，0），A（-2，0），直線l的方程為y=k（x-1），
聯立橢圓方程可得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
直線l過橢圓的焦點，顯然直線l與橢圓相交．設P（x1，y1），Q（x2，y2），
則x1+x2=
8
k
2
3
+
4
k
2
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
y
1
x
1
+
2
可令x=4，得yM=
6
y
1
x
1
+
2
6
y
1
x
1
+
2
同理可得N（4，
6
y
2
x
2
+
2
FM
6
y
1
x
1
+
2
FN
6
y
2
x
2
+
2
又
FM
FN
36
y
1
y
2
（
x
1
+
2
）
（
x
2
+
2
）
=9+
36
k
2
（
x
1
-
1
）
（
x
2
-
1
）
（
x
1
+
2
）
（
x
2
+
2
）
36
k
2
[
x
1
x
2
-
（
x
1
+
x
2
）
+
1
]
x
1
x
2
+
2
（
x
1
+
x
2
）
+
4
36
k
2
（
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
-
8
k
2
3
+
4
k
2
+
1
）
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
+
16
k
2
3
+
4
k
2
+
4
=9+
36
k
2
?
-
9
3
+
4
k
2
36
k
2
3
+
4
k
2
所以以MN為直徑的圓恒過點F．
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：729引用：10難度：0.5
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