已知橢圓C：x2+3y2=3，過點D（1，0）且不過點E（2，1）的直線與橢圓C交于A，B兩點，直線AE與直線x=3交于點M．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率；
（3）試判斷直線BM與直線DE的位置關系，并說明理由．
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）；
（2）1；
（3）結論：直線BM與直線DE平行．
證明如下：
當直線AB的斜率不存在時，由（2）知kBM=1，
又∵直線DE的斜率kDE==1，∴BM∥DE；
當直線AB的斜率存在時，設其方程為y=k（x-1）（k≠1），
設A（x1，y1），B（x2，y2），
則直線AE的方程為y-1=（x-2），
令x=3，則點M（3，），
∴直線BM的斜率kBM=，
聯立
，得（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0，
由韋達定理，得x1+x2=，x1x2=，
∵kBM-1=
=
==0，
∴kBM=1=kDE，即BM∥DE；
綜上所述，直線BM與直線DE平行．
6
3
（2）1；
（3）結論：直線BM與直線DE平行．
證明如下：
當直線AB的斜率不存在時，由（2）知kBM=1，
又∵直線DE的斜率kDE=
1
-
0
2
-
1
當直線AB的斜率存在時，設其方程為y=k（x-1）（k≠1），
設A（x1，y1），B（x2，y2），
則直線AE的方程為y-1=
y
1
-
1
x
1
-
2
令x=3，則點M（3，
x
1
+
y
1
-
3
x
1
-
2
∴直線BM的斜率kBM=
x
1
+
y
1
-
3
x
1
-
2
-
y
2
3
-
x
2
聯立
x 2 + 3 y 2 = 3 |
y = k （ x - 1 ） |
由韋達定理，得x1+x2=
6
k
2
1
+
3
k
2
3
k
2
-
3
1
+
3
k
2
∵kBM-1=
k
（
x
1
-
1
）
+
x
1
-
3
-
k
（
x
2
-
1
）
（
x
1
-
2
）
-
（
3
-
x
2
）
（
x
1
-
2
）
（
3
-
x
2
）
（
x
1
-
2
）
=
（
k
-
1
）
[
-
x
1
x
2
+
2
（
x
1
+
x
2
）
-
3
]
（
3
-
x
2
）
（
x
1
-
2
）
=
（
k
-
1
）
（
-
3
k
2
+
3
1
+
3
k
2
+
12
k
2
1
+
3
k
2
-
3
）
（
3
-
x
2
）
（
x
1
-
2
）
∴kBM=1=kDE，即BM∥DE；
綜上所述，直線BM與直線DE平行．
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權屬菁優網所有，未經書面同意，不得復制發布。
發布：2024/4/20 14:35:0組卷：3084引用：15難度：0.5
相似題
-
1．已知橢圓C：
=1（a＞b＞0）的一個頂點坐標為A（0，-1），離心率為x2a2+y2b2．32
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點P，Q，線段PQ的中點為M，點B（1，0），求證：點M不在以AB為直徑的圓上．發布：2024/12/29 12:30:1組卷：371引用：4難度：0.5 -
2．設橢圓
+x2a2=1（a＞b＞0）的右頂點為A，上頂點為B．已知橢圓的離心率為y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點，直線l與直線AB交于點M，且點P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．發布：2024/12/29 12:30:1組卷：4552引用：26難度：0.3 -
3．如果橢圓
的弦被點（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ）x236+y29=1發布：2024/12/18 3:30:1組卷：457難度：0.6