如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B，D關于直線AC對稱，連接AD，CD．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）在線段AC上任取一點P（端點除外），連接PD．將線段PD繞點P逆時針旋轉，使點D落在BA延長線上的點Q處．請探究：當點P在線段AC上的位置發生變化時，∠DPQ的大小是否發生變化？說明理由；
（3）在滿足（2）的條件下，在圖中找出與線段AQ相等的線段，并加以證明；
（4）在（2）的條件下，已知菱形ABCD的邊長為10，PQ=53，求AQ的長．
PQ
=
5
3
【考點】幾何變換綜合題．
【答案】（1）證明見解析；
（2）當點P在線段AC上的位置發生變化時，∠DPQ的大小不發生變化，始終等于60°；
（3）AQ=CP；
（4）5．
（2）當點P在線段AC上的位置發生變化時，∠DPQ的大小不發生變化，始終等于60°；
（3）AQ=CP；
（4）5．
【解答】
【點評】
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發布：2024/9/19 10:0:8組卷：110難度：0.5
相似題
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1．綜合與實踐：
在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數學活動．
在矩形ABCD中，E為AB邊上一點，F為AD邊上一點，連接CE、CF，分別將△BCE和△CDF沿CE、CF翻折，點D、B的對應點分別為點G、H，且C、H、G三點共線．
（1）如圖1，若F為AD邊的中點，AB=BC=6，點G與點H重合，則∠ECF=°，BE=；
（2）如圖2，若F為AD的中點，CG平分∠ECF，，BC=2，求∠ECF的度數及BE的長．AB=2+1
（3）AB=5，AD=3，若F為AD的三等分點，請直接寫出BE的長．
發布：2025/5/22 5:30:2組卷：902引用：5難度：0.4 -
2．問題背景：如圖1，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，在△AEF中，∠AEF=90°，
，連接BF，M是BF中點，連接EM和DM，在△AEF繞點A旋轉過程中，線段EM和DM之間存在怎樣的數量關系？∠EAF=12∠BAC
觀察發現：
（1）為了探究線段EM和DM之間的數量關系，可先將圖形位置特殊化，將△AEF繞點A旋轉，使AE與AB重合，如圖2，易知EM和DM之間的數量關系為 ；
操作證明：
（2）繼續將△AEF繞點A旋轉，使AE與AD重合時，如圖3，（1）中線段EM和DM之間的數量關系仍然成立，請加以證明．
問題解決：
（3）根據上述探究的經驗，我們回到一般情況，如圖1，在其他條件不變的情況下，上述的結論還成立嗎？請說明你的理由．發布：2025/5/22 6:30:1組卷：219引用：2難度：0.1 -
3．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為線段BC上一點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE，作射線CE．
（1）求證：△BAD≌△CAE，并求∠BCE的度數；
（2）若F為DE中點，連接AF，連接CF并延長，交射線BA于點G．當BD=2，DC=1時，
①求AF的長；
②直接寫出CG的長．發布：2025/5/22 4:30:1組卷：516難度：0.5