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已知橢圓C的兩個頂點分別為A（-2，0），B（2，0），焦點在x軸上，離心率為
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點P（x₀，y₀）是橢圓上一點，求以點P為切點的橢圓的切線方程；
（Ⅲ）設點Q是直線l：x=5上一動點，過點Q作橢圓C的兩條切線QM，QN，切點分別為M，N，直線MN是否過定點？如果是，請求出定點坐標；如果不是，請說明理由．

【考點】橢圓的切線方程及性質．

【答案】見試題解答內容

【解答】

【點評】

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發布：2024/11/7 8:0:2組卷：147引用：1難度：0.4

相似題

1．經研究發現，若點M（x₀，y₀）在橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
上，則過點M的橢圓切線方程為
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=
1
，現過點
P
（
t
,
0
）
（
|
t
|
＞
2
）
作橢圓
C
：
x
2
2
+
y
2
=
1
的切線，切點為Q，當△POQ（其中O為坐標原點）的面積為
1
2
時，t=
．
發布：2024/11/7 8:0:2組卷：58引用：1難度：0.5
解析
2．關于橢圓的切線有下列結論：若P（x₁，y₁）是橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（a＞b＞0）上的一點，則過點P的橢圓的切線方程為
x
1
x
a
2
+
y
1
y
b
2
=
1
．已知橢圓C：
x
2
4
+
y
2
3
=
1
，過橢圓C外一點M（x₀，y₀）作橢圓的兩條切線MA，MB（A，B為切點）．
（Ⅰ）利用上述結論，求過橢圓C上的點P（1，n）（n＞0）的切線方程；
（Ⅱ）若M是直線x=4上的任一點，過M作橢圓C的兩條切線MA，MB（A，B為切點），設橢圓的右焦點為F，求證：MF⊥AB．
發布：2024/11/7 8:0:2組卷：136引用：2難度：0.4
解析
3．關于橢圓的切線有下列結論：若P（x₁，y₁）是橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）上的一點，則過點P的橢圓的切線方程為
x
1
x
a
2
+
y
1
y
b
2
=
1
．已知橢圓C：
x
2
4
+
y
2
3
=
1
，過橢圓C外一點M（x₀，y₀）作橢圓的兩條切線MA，MB（A，B為切點）．
（Ⅰ）利用上述結論，求直線AB的方程；
（Ⅱ）設橢圓的右焦點為F，求證：
|
MF
|
2
|
FA
|
|
FB
|
=
x
2
0
4
+
y
2
0
3
．
發布：2024/11/7 8:0:2組卷：251引用：1難度：0.3
解析

1．經研究發現，若點M（x0，y0）在橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上，則過點M的橢圓切線方程為x0xa2+y0yb2=1，現過點P（t,0）（|t|＞2）作橢圓C：x22+y2=1的切線，切點為Q，當△POQ（其中O為坐標原點）的面積為12時，t=．