在矩形ABCD中，AE⊥BD于點E，點P是邊AD上一點．
（1）若BP平分∠ABD，交AE于點G，PF⊥BD于點F，連接GF，如圖①，證明四邊形AGFP是菱形；
（2）若PE⊥EC，如圖②，求證：AE?AB=DE?AP；
（3）在（2）的條件下，若AB=1，tan∠ABD=2，求PE的長．
【考點】相似形綜合題．
【答案】（1）（2）證明見解析部分；
（3）．
（3）
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10
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：208難度：0.1
相似題
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1．如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D為邊AB上一點，∠ACD=∠B．
（1）求證：AC2=AD?AB；
（2）如圖2，過點A作AM⊥CD于M，交BC于點E，若AB=4AD，求的值；AMME
（3）如圖，N為CD延長線上一點，連接BN，且∠NBD=2∠ACD，若，直接寫出tan∠ACD=1n（n＞1）的值（用含n的代數式表示）．NDDC發布：2025/5/22 10:30:1組卷：557引用：4難度：0.1 -
2．問題背景：某學習小組正在研究如下問題：如圖1所示，四邊形ABCD與四邊形CEFG均為正方形，且點E、G分別在邊BC、CD上，連接DE、BG，點M是BG中點，連接CM，試猜測CM與DE的數量關系與位置關系，并加以證明．
解決問題：小華從旋轉的角度提出一個問題：如圖2，將正方形CEFG繞點C順時針旋轉一定角度，其他條件不變，此時“問題背景”中的結論還成立嗎？如果成立，請加以證明；如果不成立，請說明理由．
拓展延伸：小剛提出了一個更加一般化的問題：如圖3所示，?ABCD∽?ECGF，且，其他條件不變，此時CM與DE又有怎樣的數量關系？請直接寫出結果．ABBC=ab
?發布：2025/5/22 10:30:1組卷：242引用：4難度：0.1 -
3．綜合與實踐
我們在沒有量角器或三角尺的情況下，用折疊特殊矩形紙片的方法進行如下操作也可以得到幾個相似的含有30°角的直角三角形．
實踐操作：第一步：如圖①，矩形紙片ABCD的邊長AB=，將矩形紙片ABCD對折，使點D與點A重合，點C與點B重合，折痕為EF，然后展開，EF與CA交于點H．3
第二步：如圖②，將矩形紙片ABCD沿過點C的直線再次折疊，使CD落在對角線CA上，點D的對應點D'恰好與點H重合，折痕為CG，將矩形紙片展平，連接GH．
問題解決：
（1）在圖②中，sin∠ACB=，=；EGCG
（2）在圖②中，CH2=CG?；從圖②中選擇一條線段填在空白處，并證明你的結論；
拓展延伸：
（3）將上面的矩形紙片ABCD沿過點C的直線折疊，點D的對應點D'落在矩形的內部或一邊上，設∠DCD'=a,若0°＜a≤90°，連接D'A，D'A的長度為m,則m的取值范圍是 ．
發布：2025/5/22 9:30:1組卷：681引用：7難度：0.1