設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E．
（Ⅰ）證明：|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；
（Ⅱ）設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與C1交于P，Q兩點，求證：1|MN|+1|PQ|是定值，并求出該定值．
1
|
MN
|
+
1
|
PQ
|
【答案】（Ⅰ）證明：因為|AD|=|AC|，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，
所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|．
又圓A的標準方程為（x+1）2+y2=16，
從而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4．
由題設得A（-1，0），B（1，0），|AB|=2，
由橢圓定義可得點E的軌跡方程為：（y≠0）．
（Ⅱ）證明：依題意：l與x軸不垂直，設l的方程為y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．
由
得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0．
則，．
所以．
同理：，
故．
所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|．
又圓A的標準方程為（x+1）2+y2=16，
從而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4．
由題設得A（-1，0），B（1，0），|AB|=2，
由橢圓定義可得點E的軌跡方程為：
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（Ⅱ）證明：依題意：l與x軸不垂直，設l的方程為y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．
由
y = k （ x - 1 ） |
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
則
x
1
+
x
2
=
8
k
2
4
k
2
+
3
x
1
x
2
=
4
k
2
-
12
4
k
2
+
3
所以
|
MN
|
=
1
+
k
2
|
x
1
-
x
2
|
=
12
（
k
2
+
1
）
4
k
2
+
3
同理：
|
PQ
|
=
12
（
k
2
+
1
）
3
k
2
+
4
故
1
|
MN
|
+
1
|
PQ
|
=
4
k
2
+
3
12
（
k
2
+
1
）
+
3
k
2
+
4
12
（
k
2
+
1
）
=
7
12
（
定值
）
【解答】
【點評】
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發布：2024/8/30 9:0:8組卷：277引用：3難度：0.7
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