已知等軸雙曲線的頂點F1（-2，0），F2（2，0）分別是橢圓C的左、右焦點，且x=433是橢圓與雙曲線某個交點的橫坐標．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l與橢圓C相交于A，B兩點，以線段AB為直徑的圓過橢圓的上頂點M，求證：直線l恒過定點．
4
3
3
【答案】（1）；
（2）證明：由題意可知，直線l與x軸不垂直，
設直線l：y=kx+m（m≠2），與橢圓C：相交于點A（x1，y1），B（x2，y2），
聯立方程組
，可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，
所以，
因為∠AMB=90°，所以（x1，y1-2）?（x2，y2-2）=0，即x1x2+（y1-2）（y2-2）=0，
x1x2+（kx1+m）（kx2+m）-2（kx1+m+kx2+m）+4=0，
整理可得，
因為m≠2，所以2（k2+1）（m+2）-4k2m+（2k2+1）（m-2）=0，
整理可得3m+2=0，
所以，
故直線l恒過定點．
x
2
8
+
y
2
4
=
1
（2）證明：由題意可知，直線l與x軸不垂直，
設直線l：y=kx+m（m≠2），與橢圓C：
x
2
8
+
y
2
4
=
1
聯立方程組
y = kx + m |
x 2 8 + y 2 4 = 1 |
所以
x
1
+
x
2
=
-
4
km
2
k
2
+
1
，
x
1
x
2
=
2
m
2
-
8
2
k
2
+
1
因為∠AMB=90°，所以（x1，y1-2）?（x2，y2-2）=0，即x1x2+（y1-2）（y2-2）=0，
x1x2+（kx1+m）（kx2+m）-2（kx1+m+kx2+m）+4=0，
整理可得
（
k
2
+
1
）
?
2
m
2
-
8
2
k
2
+
1
+
k
（
m
-
2
）
?
-
4
km
2
k
2
+
1
+
（
m
-
2
）
2
=
0
因為m≠2，所以2（k2+1）（m+2）-4k2m+（2k2+1）（m-2）=0，
整理可得3m+2=0，
所以
m
=
-
2
3
故直線l恒過定點
（
0
，-
2
3
）
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：124引用：3難度：0.4
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