小明和大白兩位同學在自主學習中遇到了一個數學綜合題如下：如圖①，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A在x軸負半軸上，頂點C在x軸正半軸上，頂點B在第一象限，過點B作BD⊥y軸于點D，線段OA，OC的長是一元二次方程x2-12x+36=0的兩根，BC=45，∠BAC=45°．你能為他們解決下面（1）、（2）兩個問題嗎？請寫出你的解答過程．
（1）求點A，C的坐標；
（2）若反比例函數y=kx的圖象經過點B，求k的值；
（3）在完成上述兩個問題后，小明繼續探究，他想：在y軸上是否存在點P，使以P，B，D為頂點的三角形與以P，O，A為頂點的三角形相似呢？結果發現確實存在，解答如下：
如圖②，設在x軸下方存在一點P（0，m）．
由△PBD∽△APO，得PDAO=BDPO，即8-m6=2-m．
解得m=4±27，∴P（0，4-27）．
大白說，滿足條件的點圖中還有，你認可大白的說法嗎？若認可，請把滿足條件的點P的坐標都求出來；若不認可，請說明理由．
BC
=
4
5
y
=
k
x
PD
AO
=
BD
PO
8
-
m
6
=
2
-
m
m
=
4
±
2
7
P
（
0
，
4
-
2
7
）
【考點】反比例函數綜合題．
【答案】（1）A（-6，0），C（6，0）；
（2）k=16；
（3）認可，P點坐標為（0，2）或（0，6）或（0，12）或或．
（2）k=16；
（3）認可，P點坐標為（0，2）或（0，6）或（0，12）或
（
0
，
4
+
2
7
）
（
0
，
4
-
2
7
）
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：154引用：3難度：0.1
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1．如圖，在△AOB中，∠OAB=90°，AO=AB，OB=2．一次函數交y軸于點C（0，-1），交反比例函數于A、D兩點．
（1）求一次函數和反比例函數的解析式；
（2）求△OAD的面積；
（3）問：在直角坐標系中，是否存在一點P，使以O，A，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點PP的坐標；若不存在，請說明理由．發布：2025/6/2 14:30:1組卷：1119引用：6難度：0.3 -
2．如圖，點A在反比例函數y=
（m＞0，x＞0）的圖象上，點A的縱坐標為3．過點A作x軸的平行線交反比例函數y=mx（n＞m,x＞0）的圖象于點C．點P為線段AC上一動點，過點P作AC的垂線，分別交反比例函數y=nx和y=mx的圖象于點B，D．nx
（1）當m=4，n=16時，
①若點P的橫坐標為4（如圖1），求直線AB的函數表達式；
②若點P是AC的中點（如圖2），試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；
（2）四邊形ABCD能否成為正方形？若能，求此時m,n之間的數量關系；若不能，說明理由．發布：2025/6/2 10:30:1組卷：718引用：1難度：0.4 -
3．如圖，直線y=ax+2與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，與雙曲線相交于點P，PC⊥x軸于點C，且PC=4，點A的坐標為（-4，0）．y=kx（x＞0）
（1）求一次函數的解析式；
（2）求雙曲線的解析式；
（3）若點Q為雙曲線上點P右側的一點，且QH⊥x軸于H，當以點Q、C、H為頂點的三角形與△AOB相似時，求點Q的橫坐標．發布：2025/6/2 15:0:1組卷：148引用：1難度：0.2