如圖1，一種手機支架可抽象成如圖2的幾何圖形，水平底座長AD=10cm,伸縮臂AB長度可調節（10cm≤AB≤15cm），并且可繞點A上下轉動，轉動角α變動范圍是0°＜α≤90°，手機支撐片EC可繞點B上下轉動，BC=10cm,轉動角β變動范圍是0°＜β≤90°．小明使用該支架進行線上學習，當β≥30°，且點C離底座的高度不小于7cm時，他才感覺舒適．

（1）如圖3，當α=90°，β=50°，AB=12cm時，求托片底部點C離底座的高度，并判斷是否符合小明使用的舒適要求．（參考數據sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
（2）如圖2，當α=60°，β=90°的情況下，AB至少要伸縮到多少cm時才能恰好滿足小明使用的舒適要求？（精確到1cm.參考數據
3
≈1.73）

【答案】（1）托片底部點C離底座的高度為5.6cm，不符合小明的舒適要求；
（2）至少要將AB伸縮至14cm時才能符合小明的舒適要求．

【解答】

【點評】

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發布：2025/5/30 4:0:3組卷：392引用：1難度：0.6

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1．閱讀下列材料：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c,求證：
a
sin
A
=
b
sin
B
．
證明：如圖1，過點C作CD⊥AB于點D，則：
在Rt△BCD中，CD=asinB
在Rt△ACD中，CD=bsinA
∴asinB=bsinA
∴
a
sin
A
=
b
sin
B

根據上面的材料解決下列問題：
（1）如圖2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c,求證：
b
sin
B
=
c
sin
C
；
（2）為了辦好湖南省首屆旅游發展大會，張家界市積極優化旅游環境．如圖3，規劃中的一片三角形區域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求這片區域的面積．（結果保留根號．參考數據：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）
發布：2025/5/30 23:0:1組卷：1417引用：7難度：0.6
解析
2．北京冬奧會開幕式的巨型雪花狀主火炬塔的設計，體現了環保低碳理念．如圖所示，它的主體形狀呈正六邊形．若點A，F，B，D，C，E是正六邊形的六個頂點，則tan∠ABE=
．
發布：2025/5/30 19:0:1組卷：660引用：5難度：0.5
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3．如圖給出了一種機器零件的示意圖，其中m=2米、n=3米，則AB的長為（　　）
A．
（
1
+
3
3
）
米 B．
（
1
-
3
3
）
米 C．
（
3
-
1
）
米 D．
（
3
+
1
）
米
發布：2025/5/30 21:30:2組卷：179難度：0.6
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